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Bornes supérieures et continuité
Bonjour à tous !
J'ai un exercice à faire en maths qui me pose quelques problèmes.
1) Montrer que, pour tout x∈ℝ, { xⁿ/n! ∣ n∈ℕ* } possède une borne supérieure et que cette borne supérieure est égal à son maximum.
Là je pense avoir un petit début de réponse.
Pour x>0 :
J'ai pris un x arbitraire, et j'ai vu que l'ensemble associé était "décroissant" pour n croissant. Donc, il suffit de prouver que ∀x∈ℝ, u(n)=xⁿ/n! est décroissant. u(n+1)/u(n) = x/(n+1).
Donc u(n) décroissant <=> x<n+1.
Pour x∈ [0 ; 2[, c'est vérifié car n∈ℕ* . Mais il faut le prouver sur ℝ+... Pour les autres x, je conjecture que u(n) est "stable" (je ne me rappelle plus le terme exact : ni croissante, ni décroissante) jusqu'à n = x, puis croissante. Mais comment le prouver ?
Pour x<0 :
Là, u(n)=xⁿ/n! est positive si n est pair et sa borne supérieure est à n = 2. Mais comment le prouver ?
2) On pose f(x) = sup { xⁿ/n! ∣ n∈ℕ* }. Montrer que l'on a pour tout x∈ [-1 ; 1], 0 ≤ f(x) ≤ |x|.
Sur x≥0, comme u(n) est décroissante, la borne supérieure de l'ensemble est le premier terme : x¹/1! = x et x≥0.
Pour x<0, la borne supérieure de l'ensemble est le deuxième terme : x²/2 ≥0.
Pour la deuxième partie de l'inégalité, je ne voie pas du tout.
3) En déduire la continuité de f en 0.
Là ce sera facile après le 2)
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour,
Je te conseille de faire intervenir la partie entière de x pour déterminer à partir de quel rang la suite est décroissante.
L'expression pour "ni croissante, ni décroissante" c'est "non monotone".
L'adjectif "stable" s'utilise en général à partir d'un certain rang.
Une suite stable partir du rang 2017 est une suite dont tous les termes de rang supérieur ou égal à 2107 sont égaux.
Pour 2), une fois établi f(x) = x si x 
[0;1] et f(x) = x2/2 si x [-1;0] , il suffit de démontrer x2/2 
|x| .
En fait, pour 1) et x > 0 , inutile de trop se fatiguer.
Soit p un entier supérieur ou égal à x . Un tel p existe, par exemple E(x)+1 .
Si n 
p alors n+1 > x ; donc (un) décroissante à partir du rang p . Ce qui se passe avant le rang p n'est pas utile car il y a un nombre fini de termes.
Si n p alors un up .
Parmi les p réels u1 , u2, u3, ... , up il y a un maximum.
Si x<0 , poser vn = |un| doit permettre de conclure en utilisant les termes de rang pair.
Merci pour votre aide !
Pour x<0, je fais la même démonstration que vous pour x>0 en posant au préalable n' = 2k (k appartenant à |N*). Je ne sais pas si c'est viable.
Autrement, pour la 2), je résous deux équations du second degré et trouve f(x) ≤ |x| pour x appartenant à [-2 ; 2].
Pour x<0 , les termes de rang pair sont négatifs donc inférieurs à u2 .
Inutile de faire du degré 2 pour la 2).
f(x) = x si x [0;1] . Donc f(x) = |x| dans ce cas.
f(x) = x2/2 si x [-1;0] . |x| 1 ; donc |x|2 |x| ; donc x2 |x| .
Or (1/2)x2 x2 car 1/2 < 1 .
salut
donc est croissante sur [0, x] et décroissante sur [x, +oo[
la suite possède donc un maximum sur
d'autre part la fonction a même parité que n ...
cette dernière ligne est évidemment fausse : il faut l'adapter en distinguant négatif et positif ...
Je ne comprends toujours pas.
x étant un réel, la suite (un) est définie pour n 
* par un = xn / n!
S'il y a un maximum, c'est sur * ; le maximum ne peut alors qu'être dans 
+ car u2 0 .
bien sur puisque j'ai bien défini les variables : la suite n --> u_n(x) possède un maximum sur N dans R+ puisque x >= 0 ... si tu préfères ...
Bonjour carpediem et merci pour votre aide 
Mais, Sylvieg, je ne comprends ce que vous me conseillez de faire sur x<=0. Est-ce que vous voulez dire dans votre avant-dernier message que ce sont les termes de rang impairs qui sont négatifs ?
Excusez-moi, je n'ai pas rafraîchi la page depuis quelques minutes...
Je vais regarder ce que vous avez écrit.
Lorsque vous dites n --> u_n(x) a la même parité que n, vous voulez dire que lorsque n est pair, n --> u_n(x) est paire ?
Désolé, je ne vois pas du tout pourquoi savoir que n= 2k ( k appartenant à N*) ssi n --> u_n(x) = 2k (etc...) pourrait nous aider à étudier la monotonie de u(n) avec x<=0. 
Mais, Sylvieg, je ne comprends ce que vous me conseillez de faire sur x<=0. Est-ce que vous voulez dire dans votre avant-dernier message que ce sont les termes de rang impairs qui sont négatifs ?
Oui, si x < 0 et n impair alors xn / n! est négatif.
@carpediem,
Voici mon interprétation de la question 1) :
x étant un réel fixé, démontrer que l'ensemble { xⁿ/n! ∣ n∈ℕ* } possède une borne supérieure et que cette borne supérieure est égal à son maximum.
Je n'y vois pas de fonction paire ou impaire
C'est bon, j'ai lancé une petite recherche sur Google.
Voulez-vous dire que si n est pair, f(x) est paire, et si n impair, f(x) impaire ?
Donc, si n pair, f(x) = f(-x) et donc pour x<0, sur [-n;0], f(x) est croissante et décroissante sur ]-oo ;-n[ ? Et si n impair, f(x) = -f(-x) et donc rien à dire car négatif ?
voila tout à fait
maintenant que tu sais que est une fonction paire ou impaire suivant que n est pair ou impaire alors tu vois qu'il suffit de travallier sur R+ pour avoir les résultats sur R- ...
Bonjour,
Je mets les points sur les i :
La fonction f du 2) n'est pas paire.
Par exemple f(1,5) = 1,5 et f(-1,5) =1,125 (= 9/8) .
Bonjour
Ah bon ?
Pourtant :
f(-1.5) = (-1.5)² = f(1.5) = (1.5)²
------ ------
2! 2!
Peut-être que je ne parle pas de la bonne fonction...
je ne dis pas que f est ... je dis que u_n(x) = x^n/n! est paire ou impaire suivant que n l'est ou pas ...
Je parle de la fonction définie dans la question 2) par f(x) = sup { xⁿ/n! ∣ n∈ℕ* }.
f(1,5) = sup { 1,5ⁿ/n! ∣ n∈ℕ* } et f(-1,5) = sup { (-1,5)ⁿ/n! ∣ n∈ℕ* }.
Pour 1,5ⁿ/n! le maximum est 1,5 atteint pour n = 1 .
Pour (-1,5)ⁿ/n! le maximum est ( -1,5)2/2 atteint pour n = 2 .
Merci pour cet envoi. Il risque d'être supprimé par les modérateurs, car les scan de texte ne sont pas autorisés...
Dans mon post, j'ai rassemblé question 1 et 2 ( j'ai peut-être fait une erreur en y repensant )
1) Prouver que l'ensemble possède une borne sup.
2) Prouver que borne sup =max
You're welcome ! Je pense qu'ils comprendront que ce n'est pas un scan de sujet, mais de correction, et que donc le supprimer n'aurait aucun sens.
?Les deux premières occurrences (page 1) : de k=1 à n
Deuxième page :
3e occurence : de k=1 à. partie entière de valeur absolue de X
4eme occurnece : de k=(1 + partie entière de valeur absolue de X ) à n
Si c'est pas clair, je fais une photo zoomée.
la FAQ du forum"en respectant les droits d'auteur" : avais-tu demandé à ton prof l'autorisation de rendre publique sa correction ?
et si tu veux pouvoir écrire des maths proprement sur un forum, un peu de lecture
guide latex
présent sous la zone de saisie du message. La liste complète des caractères mathématiques est disponible dans le 
mode d'emploi du forum"Pour l'enseignement et la recherche, le CPI a introduit une exception pédagogique : l'auteur ne peut interdire la représentation ou la reproduction d'extraits d'œuvres à destination d'un public composé majoritairement d'élèves, d'étudiants, d'enseignants ou de chercheurs et à condition que cette utilisation soit faite sans exploitation commerciale."
Pour l'écriture mathématique, OK, mais j'ai un alibi : j'ai écrit le message de 9:55 sur mon portable, pendant un intercours.
Les messages suivants utiliseront LateX.
Petite précision, la citation ci-dessus vient du site d'une école bizarrement nommée "Centrale Marseille" que vous connaissez sûrement...
extrait d'œuvre : un paragraphe d'un roman, pas la totalité d'un corrigé
de toutes façons ici les images sont réservées aux figures, aux illustrations. le texte, on le tape
On pourrait chipoter en disant que la différence est minime, vu qu'une œuvre est une "production littéraire, artistique ou intellectuelle", ce qu'on pourrait rapprocher à une démonstration mathématique (au moins pour le 3ème terme).
De plus, ce n'est pas la totalité du corrigé que j'ai posté, seulement un exercice (le 3ème d'ailleurs) sur une dizaine.
Loin de moi cette idée
Mais "je vous ai compris".
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