Bonjour,
Voici l'exercice :
Soit > 0. Pour tout entier n 1, on note le disque Bn : Bn={ (x,y)2 ; (x - 1/n)2 + (y - 1/n)2 2 / n2 }
1) A quelle condition sur a-t-on Bn+1 Bn
2) Soit B=n1 Bn. Donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que B soit fermé.
Voici la correction donner :
1) il est bien connu que le disque de centre A de rayon r est contenu dans le disque de centre B de rayon R si et seulement si AB+r R . Ici on en déduit que Bn+1 Bn si et seulement si : (2(1/n - 1/n+1)2) /n - /n+1 , c'est a dire si et seulement si 2
2) si 2 , les ensembles sont emboîtés les uns dans les autres et B = B1 qui est fermé. Si <2, alors on vérifie facilement que (0,0) n'est élément d'aucun ensemble Bn. Or la suite des centres Bn, (1/n, 1/n) est contenue dans B et converge vers (0,0) qui n'est pas dans B. Donc B n'est pas fermé. Ainsi, on a prouvé que B est fermé si et seulement si 2
Pourriez-vous plus détailler et expliquer la correction, je ne comprends pas.
Merci d'avance de votre réponse.
Bonjour
Bonsoir,
la distance entre le centre de Bn et celui de Bn+1, c'est Bn -Bn+1 ?
Bn -Bn+1=(x2 -2x/n + 1/n2 + y2 - 2y/n + 1/n2 - ( x2 -2x/n+1 + 1/(n+1)2 + y2 - 2y/n+1 + 1/(n+1)2) = (-2x-2y)/n(n+1) + 2/n2 - 2/(n+1)2
Oui, alors tu peux peut-être maintenant répondre correctement à ma question : quelle est la distance entre le centre de et celui de ?
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