Bonjour et merci déjà pour l'attention accordée à mon message.
Exercice : On munit d'une norme de votre choix et on pose
O = {(x,y) ² : x < y}
Montrer que O est un ouvert de ².
Pour mon travail, j'ai choisit la norme ||.||1 tel que ||(x,y)||1 = |x| + |y|
Pour montrer que O est un ouvert de R², on peut montrer que son complémentaire
O' = {(x,y) ² : xy} est un fermé; j'ai pour cela décidé d'utiliser la caractérisation séquentielle : c'est-à-dire démontrer que pour toute suite (xn) de A qui converge vers ℓ, alors ℓ∈A;.
Soit donc (Xn, Yn) O' qui converge (xo, yo) alors, xnyn et par passage aux limites, xoyo et par conséquent, (xo , yo) O' : d'où O' est un fermé de R² et par conséquent, O est un ouvert de ².
J'ai commis une erreur je voulais dire **démontrer que pour toute suite (Xn , Yn) de O' qui converge vers ℓ, alors ℓ∈O'.
Bonjour,
c'est un peu rapide mais c'est bien.
(1) "Soit donc (Xn, Yn) O'" : écrit comme tel, (Xn, Yn) est un unique point et ce n'est pas une suite.
(2) "alors, xnyn" : il faut justifier 'alors' + même problème de définition pour xn et yn (c'est vrai pout tout n ?)
Sinon on peut utiliser la propriété suivante :
"Une fonction est continue si et seulement si tout ouvert de l'espace d'arrivé est envoyé en un ouvert de l'espace de départ par l'application image réciproque associée à la fonction."
Et il y a encore d'autres solutions... j'en vois une qui nécessite un produit scalaire par exemple.
D'accord compris merci beaucoup !
En réalité, j'y suis allé un peu trop vite je voulais plutôt dire :
Soit (xn,yn) est une suite d'éléments de O' qui converge vers (xo,yo), alors on sait que pour chaque entier n, on a xnyn. En passant à la limite, on en déduit que xoyo et donc que (xo,yo)∈O' : O' n'est pas ouvert.
Pour la propriété, je ne la connais pas et ne sais pas comment procéder avec elle pouvez-vous m'indiquer s'il vous plait ? de même que pour le produit scalaire.
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