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Niveau maths spé
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Boule ouverte

Posté par
amage
11-07-20 à 11:46

Bonjour et merci déjà pour l'attention accordée à mon message.
Exercice : On munit  d'une norme de votre choix et on pose
O = {(x,y) ²  : x < y}
Montrer que O est un ouvert de ².
Pour mon travail, j'ai choisit la norme ||.||1 tel que ||(x,y)||1 = |x| + |y|
Pour montrer que O est un ouvert de R², on peut montrer que son complémentaire
O' = {(x,y) ² : xy} est un fermé; j'ai pour cela décidé d'utiliser la caractérisation séquentielle : c'est-à-dire démontrer que pour toute suite (xn) de A qui converge vers ℓ, alors ℓ∈A;.
Soit donc (Xn, Yn) O' qui converge (xo, yo) alors, xnyn et par passage aux limites, xoyo et par conséquent, (xo , yo) O' : d'où O' est un fermé de R² et par conséquent, O est un ouvert de ².

Posté par
amage
re : Boule ouverte 11-07-20 à 11:49

J'ai commis une erreur je voulais dire **démontrer que pour toute suite (Xn , Yn) de O' qui converge vers ℓ, alors ℓ∈O'.

Posté par
Kernelpanic
re : Boule ouverte 11-07-20 à 11:59

Bonjour,

c'est un peu rapide mais c'est bien.

(1) "Soit donc (Xn, Yn) O'" : écrit comme tel, (Xn, Yn) est un unique point et ce n'est pas une suite.

(2) "alors, xnyn" : il faut justifier 'alors' + même problème de définition pour xn et yn (c'est vrai pout tout n ?)

Sinon on peut utiliser la propriété suivante :

"Une fonction est continue si et seulement si tout ouvert de l'espace d'arrivé est envoyé en un ouvert de l'espace de départ par l'application image réciproque associée à la fonction."

Et il y a encore d'autres solutions... j'en vois une qui nécessite un produit scalaire par exemple.

Posté par
amage
re : Boule ouverte 11-07-20 à 13:52

D'accord compris merci beaucoup !
En réalité, j'y suis allé un peu trop vite je voulais plutôt dire :
Soit (xn,yn) est une suite d'éléments de O' qui converge vers (xo,yo), alors on sait que pour chaque entier n, on a xnyn. En passant à la limite, on en déduit que xoyo et donc que (xo,yo)∈O' : O' n'est pas ouvert.
Pour la propriété, je ne la connais pas et ne sais pas comment procéder avec elle pouvez-vous m'indiquer s'il vous plait ? de même que pour le produit scalaire.

Posté par
Jezebeth
re : Boule ouverte 11-07-20 à 14:47

Bonjour

Toujours pas, pour l'écrire correctement il faut écrire ((x_n,y_n))_{n_\in \mathbb{N}}.

Posté par
amage
re : Boule ouverte 12-07-20 à 12:42

D'accord compris merci beaucoup.



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