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Bras robotisé sur carroussel
Bonjour ,
je vous propose l'exercice suivant :
Un carrousel circulaire comporte 6 boîtes numérotées de 0 à 5, disposées régulièrement autour d'un axe central. Un bras robotisé fixé au centre tourne successivement devant chaque boîte dans l'ordre 0, 1, 2, ..., 5, puis revient à 0, et ainsi de suite.
À chaque passage devant une boîte, le bras applique le protocole suivant :
Il tire un nombre aléatoire R1 dans l'intervalle [0,1[.
Si R1 < 4/7, alors le bras dépose des balles dans la boîte.
Il tire un deuxième nombre aléatoire R2 dans l'intervalle [0,1[.
Si R2 < 1/3, il dépose 2 balles.
Sinon, il dépose 1 balle.
Si R1 ≥ 4/7, aucune balle n'est déposée.
Ce processus se répète à chaque boîte rencontrée, en boucle, jusqu'à ce que le nombre total de balles délivrées (toutes boîtes confondues) dépasse 100.
Question :
En moyenne, devant quelle boîte (numérotée de 0 à 5) le bras s'arrête lorsque le total des balles déposées dépasse pour la première fois 100 ?
Bonsoir,
en simulant la situation on peut voir que le numéro de la case sur la quelle le bras s'arrête suit à peu près une loi uniforme sur {0, . . . ,5}.
Je ne vois pas qu'elle est alors la signification de la moyenne.
On ne peut pas dire qu'une horloge indique en moyenne six heures.
Bonjour Verdurin , pour cette expérience on ne pas affirmer que le numéro de boite à partir de laquelle le nombre de balles dépassera 100 sera toujours le même , il convient donc de parler de moyenne de "numéro de boite"
candide2 , avec en moyenne (4/7)*6 = 3,42 boites servies en un tour est un nombre moyen de balles versée dans chaque boite qui est de 4/3 , alors le nombre moyen de balles versées en un tour est 4,57
et si n est le nombre de tours à partir duquel on a 4,57.n >= 100 alors n >= 21,88 soit à partir de n = 22 tours en moyenne , j'ai aussi fait une simu qui me donne 21,35.....29 me semble élevé ...
candide2 , avec en moyenne (4/7)*6 = 3,42 boites servies en un tour est un nombre moyen de balles versée dans chaque boite qui est de 4/3 , alors le nombre moyen de balles versées en un tour est 4,57
et si n est le nombre de tours à partir duquel on a 4,57.n >= 100 alors n >= 21,88 soit à partir de n = 22 tours en moyenne , j'ai aussi fait une simu qui me donne 21,35.....29 me semble élevé ...
Bonjour Flight,
Je ne suis pas d'accord avec tes résultats.
Tu écris "avec en moyenne (4/7)*6 = 3,42 boites servies en un tour"
Ben non, en 1 tour complet du bras il y a 6 boîtes servies.
Avec en moyenne 4/7 boules par boîte.
*****
Mon raisonnement :
Quel est en moyenne le nombre de boules mises dans une boîte à chaque pas ?
Si R1 >= 4/7 ---> 0 boules (proba de 4/7)
Si R1 < 3/7 , alors :
- Si R2 < 1/3 ---> 2 boules (proba de 3/7 * 1/3 = 1/7)
- Si R2 >= 1/3 ---> 1 boule (proba de 3/7 * 2/3 = 2/7)
Espérance de la quantité de boules déposées par coup : = 0 * 4/7 + 2 * 1/7 + 1 * 2/7 = 4/7
Donc en moyenne en 1 tour complet du bras, on dépose 6 * 4/7 = 24/7 boules dans les diverses boîtes.
Après 29 tours complet du bras, on a déposé en moyenne : 29 * 24/7 = 99,43 boules
On repasse alors sur la boîte 0 où en moyenne on remet 4/7 boule et on est alors au total de boules de 99,43 + 4/7 = 100 boules
Ce sera donc au prochain pas (donc sur la boîte 1) que, en moyenne , on dépassera 100 boules
Sauf si ma compréhension de l'énoncé n'est pas bonne.
Bonsoir flight.
J'ai l'impression que tu t'intéresses à la variable aléatoire qui donne le nombre de mouvements du bras. Je suis d'accord avec toi, cette variable aléatoire à une espérance qui a un sens.
Mais quand tu la prends modulo 6 le sens disparaît.
Si on regarde à des instants aléatoires la position de l'aiguille des secondes d'une horloge on peut faire la moyenne des valeurs et on trouve 29,5, mais ça ne veut pas dire que l'aiguille est en moyenne juste avant le 6.
Bonsoir candide2.
Il me semble que la probabilité pour qu'aucune boule ne soit distribuée est 3/7.
Et que l'espérance du nombre de boules distribuées à chaque case est 16/21. En tout cas elle est certainement strictement supérieure à 4/7 qui est la probabilité d'avoir au moins une boule.
Bonsoir candide2.
Il me semble que la probabilité pour qu'aucune boule ne soit distribuée est 3/7.
Et que l'espérance du nombre de boules distribuées à chaque case est 16/21. En tout cas elle est certainement strictement supérieure à 4/7 qui est la probabilité d'avoir au moins une boule.
Bonsoir verdurin,
Oui j'ai croisé des probas.
Si R1 >= 4/7 ---> 0 boules (proba de 3/7)
Si R1 < 3/7 , alors :
- Si R2 < 1/3 ---> 2 boules (proba de 4/7 * 1/3 = 4/21)
- Si R2 >= 1/3 ---> 1 boule (proba de 4/7 * 2/3 = 8/21)
Espérance de la quantité de boules déposées par coup : = 0 * 3/7 + 2 * 4/21 + 1 *8/21 = 16/21
... sauf nouvelle distraction
Bonsoir candide2, tu dis : "Ben non, en 1 tour complet du bras il y a 6 boîtes servies" ....selon l'énoncé ...non ! le bras arrive devant une boite et tire un nombre aléatoire p dans [0,1[ si 0 <=p < 4/7 alors le bras va fournir des balles ( le bras va ensuite générer un nombre aléatoire q dans [0,1[ et avec une proba de 1/3 il en donne deux avec une proba de 2/3 il en donne une ) , sinon il ne met rien dans la boite .... à moins que mon énoncé soit mal construit ....
je ne vois comment on peut avoir 6 boites alimentées par tour ?
Bonjour,
Le nombre de boites alimentées par tour, ne joue aucun rôle dans le problème.
On s'arrête après 101 boules (ou 102) et peu importe comment sont réparties ces boules dans les différentes boîtes.
Ce qui importe est le nombre moyen de boules distribuées par tour du robot (donc quand 6 boites ont été parcourues, quelles reçoivent ou non des boules) et pas le nombre de boîtes qui ont reçu sur des boules sur un tour.
Tel que l'énoncé est écrit, qu'une boîte reçoive ou non des boules sur un coup, le robot avance d'un pas.
Maintenant, je ne suis pas sûr du tout que le problème a vraiment une "bonne réponse".
On calcule facilement (en tenant compte de la correction du message 19-06-25 à 18:33) que il faut en moyenne x pas de robot pour atteindre 101 ou 102 boules distribuées et que on a (en moyenne) : 101/(16/21) < x < 102/(16/21)
soit 132,5625 < x < 133,875
Le hic est que la différence entre le x min(moyen) et le x max (moyen) correspond à plus d'un tour complet du robot et donc il y aura une dispersion énorme sur le numéro de la boite devant laquelle le robot va s'arrêter et même si on répète la manip un grand nombre de fois.
Et cela semble confirmé par cette simulation :
import random
cc = 0
cmpt0 = 0
cmpt1 = 0
cmpt2 = 0
cmpt3 = 0
cmpt4 = 0
cmpt5 = 0
for k in range (0,100000) :
boite = 0
r2 = 0
total = 0
while (total < 100):
r1 = random.random()
if r1 < 3/7:
boule = 0
else :
r2 = random.random()
if r2 < 1/3:
boule = 2
else :
boule = 1
total = total + boule
if total < 101:
if boite == 5:
boite = 0
else :
boite = boite + 1
if boite == 0 :
cmpt0 = cmpt0 + 1
if boite == 1:
cmpt1 = cmpt1 + 1
if boite == 2:
cmpt2 = cmpt2 + 1
if boite == 3:
cmpt3 = cmpt3 + 1
if boite == 4:
cmpt4 = cmpt4 + 1
if boite == 5:
cmpt5 = cmpt5 + 1
print(cmpt0, cmpt1, cmpt2, cmpt3, cmpt4, cmpt5)
donne le résultats suivants (en lançant 3 fois la simulation) :
16648 16513 16713 16850 16698 16578
16593 16766 16586 16621 16700 16734
16623 16680 16733 16648 16628 16688
Qui montre que le robot s'arrête devant chacune des boites avec quasi la même fréquence.
Bonsoir candide2.
C'est ce que je disais dans mon premier message : les cases d'arrêts sont à peut près équiprobables. Il n'y a donc pas de sens à désigner une « case moyenne ».
Mes programmes
Cliquez pour afficherBonsoir,
hier j'ai oublié de donner des résultats. En voici quatre :
>>> echantillon(60000)
[10041, 10072, 10072, 9937, 9889, 9989]
>>> echantillon(60000)
[10085, 9931, 10089, 9990, 9948, 9957]
>>> echantillon(60000)
[9894, 9977, 9928, 10012, 10149, 10040]
>>> echantillon(600000)
[99955, 100396, 99989, 99671, 99919, 100070]Je n'ai pas fait les tests de
2 mais à vu de nez on ne peut pas rejeter l'hypothèse du répartition uniforme au seuil de risque 10% et je dirais la même chose des résultats de candide2.Bonjour,
Pour en finir (pour moi) avec le sujet.
Pour moi, la raison pratique de la répartition trouvée sur les boîtes où le robot termine est la suivante :
Si on teste (par la simulation) sur un très grand nombre d'épreuves le nombre moyen de pas fait par le robot par épreuve, on arrive à 132,9 (varie entre 132,856 à 132,997 sur des tests de 100000 épreuves).
Si on calcule avec une moyenne de 16/21 boules versées par coup, le nombre moyen de boules par épreuve varie entre 132,856 * 16/21 = 101,224 et 132,997 * 16/21 = 101,331 boules.
... ce qui semble tout à fait normal puisque le robot s'arrête soit à 101 boules, soit à 102 boules. (cela montre que la simulation ne semble pas biaisée)
MAIS si on teste le nombre de pas du robot pour quelques épreuves individuelles, on relève par exemple (par la simulation) :
nombre de pas du robots :
132
140
148
118
145
131
104
140
133
.... la moyenne est ici de 132,333 mais la dispersion est énorme
Ici, sur ces 9 essais, le robot se serait arrêté :
sur la boîte 0 : 2 fois
sur la boîte 1 : 2 fois
sur la boîte 2 : 0 fois
sur la boîte 3 : 2 fois
sur la boîte 4 : 2 fois
sur la boîte 5 : 1 fois
Ce n'est pas étonnant alors, qu'on ne puisse pas travailler à partir de moyennes pour calculer la position finale du robot, il n'y a pas de position finale préférentielle.
Bref, on voit bien que la position d'arrêt "moyenne" n'est pas du tout "estimable".
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