c'est que du bonheur

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c'est que du bonheur
Posté par 
Rafalo  13-06-07 à 14:39
bonjour,  



ABC est un triangle équilatéral de coté a.  est le cercle inscrit dans le triangle ABC. On construit 3 cercles  tangents aux cotés et au cercle ; puis les 3 cercles   et ainsi de suite comme l'indique la formidable figure fait maison. 



Soit S l'aire du domaine intérieur au triangle et extérieur aux cercles , aux trois cercles , ..., aux trois cercles .  



calculer S (en fonction de a et n évidemment).





niveau: première

difficulté: **



bonne chance... 







 Posté par 
mikayaoure : c'est que du bonheur  13-06-07 à 14:42
jes japonais adorent ce genre de problèmes... 



 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 14:44
mikayaou: ah bon ! j'ai peut etre des origines japonaises alors....



bon je reviens pas avant ce soir donc je vous laisse du temps...



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Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 15:47
je suis de retour, pour ceux qui veulent un indice... 
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moctarre : c'est que du bonheur  13-06-07 à 15:58
Bonsoir,

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moi je veux un indice pour trouver le rapport entre les rayons de 2 cercles tangents,c'est seulement ça qui me bloque
 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:08
ok moctar: 
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tu veux le rapport :



écris  


petit indice qui découle du premier:  Cliquez pour afficher
trouve une relation entre BI, BJ ,r  et R puis tu auras ton rapport...  


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simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:28
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Je sais pas trop si il faux faire comme ca, mais j'ai décomposé le triangle équilatéral en 74 triangles équilatéraux...

déjà, l'aire du triangle général est égal a a²/2

l'aire du premier cercle est égal a 1/12*a²*pi

et a chaque fois, l'aire du cercle est divisé par 16

S(0)=(a²/2)-(a²pi/12)

S(1)=(a²/2)-(a²pi/12)-(a²pi/192)

S(2)=(a²/2)-(a²pi/12)-(a²pi/192)-(a²pi/192*16)........

S(n) je sais pas trop comment l'exprimé

mais je suis pas sur du tout ce que j'ai fait... et puis c'est assez compliquer a expliquer
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:29
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je n'ai pas regardé tes indice donc, il ne s'agit peut-être pas de la solution qu'il faut trouver...
 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:34
simon92: 
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tout d'abord l'aire du triangle ABC n'est pas a²/2 (petite remarque). Mais j'ai du mal à te comprendre: en fait comment peux tu découper le triangle et si tu fais avec ta procédure tu n'as pasa fini. 


indice:  Cliquez pour afficher
tu ne vois pas une petite suite à déterminer... :
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moctarre : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:34
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j'ai trouvé que  mais ça ne m'aide pas à avancer
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simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:40
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pardon, pour l'aire, je suis trop bête: 

sinon, je découpe le triangle avec un triangle au centre avec la "pointe vers le bas" et trois autres aux extremités "pointes en haut"
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simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:40
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si, tout a fait... je pense qu'il s'agit d'une suite
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:41
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oui, c'est vrai, la suite est fausse.... en fait tout est faux!
 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:43
moctar:
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 oui pour BI...  remplace dans ton égalité pour "avoir que des r et des R" et bidouille un peu... 


simon92:  Cliquez pour afficher
tu veux découper en 4 triangles ? Vas y c'est peu etre une autre méthode... 
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:44
j'ai juste une petite question, 
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:44
oula, j'ai fait une gaffe: 
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j'ai juste une petite question: il s'agit bien de 1/12a²pi pour le premier cercle
 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:48
simon92:
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l'aire de  
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:51
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c'est ce que je disait

 = 
 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:54
simon92: 
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pourquoi ? 


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de toute manière il te faut introduire une suite pour calculer la somme de toutes les aires des cercles... 
 Posté par 
moctarre : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:56
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j'ai beau chercher mais j'arrive pas à déterminer le rapport 
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 16:56
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réponse finale: 

S(n)= (3a²/4)-(a²pi*(1/12n))
 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 18:53
simon92: 
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comment obtient tu ca ? ma réponse n'est pas sous cette forme mais la tienne  peut convenir .... 


moctar:  Cliquez pour afficher
tu veux que je te donne le rapport en t'expliquant ?
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:05


je vais tenter d'expliquer: quand on a le cercle principal C0, et bien, tu vois que son diamètre est égal a 2/3 de la mediane, donc le reste de la mediane est donc égale a 3/2 du diamètre du cercle plus petit, donc R=3r

donc R²=9r² or il existe 3 petits cercles donc C1+C1'+C1" =C0/3

mais il reste quelques erreurs que je n'arrive pas a corrigé, et je veux bien que tu me dises comment l'on pourrait l'exprimer, car après il n'y a que 3 cercle Cn alors que je croyais que le nombre de cercle ce placais dans chaque espace, et que le nombre de cercle était ainsi multplié par 3 a chaque fois
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:06
j'ai pas blanquer  désolé! 
 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:12
simon92: 
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je suis d'accord pour R=3r mais après pourquoi as tu l'égalité : C1+C1'+C1" =C0/3 (tu parles en termes d'aires...).



En effet, en fait il y a une infinité de cercle d'où l'idée de construire une suite ....
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:15
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et bien, si R=3r, C1=R²pi/9=C1'=C1"=1/9Co 

car Co=R²pi

donc C1+C1'+C1"=R²pi/3=Co/3
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:17
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mais la ou je pense que l'exercice ne peut être une suite c'est qu'il y a 1 cercle Co, 3 Cercle C1, 3 Cercle C2... Il faudrait qu'il s'agisse d'une suite géométrique de raison q=3 et que cela fasse un cercle dans chaque espace, ceci est le résultat de ma réponse (ou en tout cas, ce que je croit que c'est puisqu'il y a beaucoup de chances que j'ai faux)
 Posté par 
jamo re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:20
Bonjour,



c'est ce qu'on appelle un Sangaku : 



J'en ai toute une collection, il faudra que je les mette en défi un de ces jours ... 



J'aime beaucoup ça, car j'aime la géométrie, et je trouve que ça change de notre "géométrie occidentale" basée sur le carré ... alors que c'est sur le cercle pour les japonais ...
 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:23
simon92:
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d'abord C1 n'est pas égale à R²pi/9. une suite de raison trois ? tu voudrais dire que le cercle C1 à une aire 3 fois inférieur au cercle C2 ?
 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:24
jamo: ca serait bien que tu poses ce genre de défis ... 
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:25
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Pourquoi C1 n'est pas égale a R²pi/9? non, C1 a une aire 9 fois superieur a C2
 Posté par 
jamo re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:25
Rafalo >> c'est prévu, je vais tous les poster, mais il faut que je fasse les figures, que je prépare les solutions ... mais les vacances approchent, ça viendra, promis ... 
 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:26
je sens que je vais passer de bonnes vacances alors... 
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:45
rafalo>> 
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pourrais tu me dire dire pourquoi Co=R²pi/9???
 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:51
simon92:j'ai pas dit ca ? je te fait remarquer que l'aire de C1 n'est pas égale à piR²/9 mais à piR²
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moctarre : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:51
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en trichant un peu  (j'essaie regardé ce que simon92 a écrit sur le rapport des aires),on a  où  désigne le rayon de .

Soit ,l'aire de .

 et 

 donc  est une suite géométrique

...



 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 19:57
moctar: 
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recalcul moi voir l'aire de ABC ? sinon le rapport r/R est égale à 1/3 donc c'est bien une suite géométrique de raison 1/3 (en ce qui concerne les rayons)...  Il faut alors reconstruire une suite géométrique qui représente l'aire d'un cercle... si tu vois ce que je veux dire ... 
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moctarre : c'est que du bonheur  13-06-07 à 20:03
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pour l'aire d'un triangle c'est pas 

Pour les aires,on a une suite géométrique de raison 
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 20:25
moctar et rafalo
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oui mais il faut compter le fait qu'il y a trois cercle C1, trois C2 trois Cn donc la suite est de raison 1/9 comme je l'avais ditsauf entre n=0 et n=1 ou elle est de raison 1/3

je suis en train de faire une image d'un problème ou la solution sera une suite geométrique de raison 1/3 quelque soit n
 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 20:25
moctar: 
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l'aire du triangle ABC est .

en effet c'est bien une suite géométrique de raison 1/9... 

tu as bientot terminé....
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 20:28
je suis pas d'accord,
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 parce que l'aire des trois cercles C1,C1' et C1" est égale a 1/3 de C0
 Posté par 
moctarre : c'est que du bonheur  13-06-07 à 20:32
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desolé Rafalo,j'avais oublié de mettre le au carré sur le a

Simon92 m'a fait remarquer une erreur,donne y a un 3 devant le sigma donc on devrait avoir:

 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 20:32
simon et moctar:
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 en fait on a:  avec  la suite géométrique de raison des rayons des cercles 





ona bien une suite géométrque de raison 1/9 pour les aires.



maintenant il faut calculer la somme T de tous les cercles: 



 Posté par 
moctarre : c'est que du bonheur  13-06-07 à 20:41
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encore une dernière correction  c'est :



 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 20:45
moctar et rafalo:

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moi, je dirais: 

S=(3a²/4)-(a²pi/12)-(a²pi/36)*((1-(1/9)n+2)/(1-(1/9)))

S=(3a²/4)-(a²pi/12)-(a²pi/40)*(1-(1/9)n+2)
 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 20:48
le problème moctar, c'est que lorsque l'on regarde ton résultat avec un triangle de coté 1, on trouve un résultat négatif... 
 Posté par 
moctarre : c'est que du bonheur  13-06-07 à 20:53
simon92,j'ai calculé avec a=1 et j'ai trouvé un nombre positif.
 Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 20:57


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or (un) est une suite arithmétqiue et on trouve:







or 



donc 



... 



il reste à conclure:



 Posté par 
simon92re : c'est que du bonheur  13-06-07 à 21:03
alors au temps pour moi moctar, je vais revoir, mais je te fait confiance...
  Posté par 
Rafalore : c'est que du bonheur  13-06-07 à 21:05
(un) est une suite géométrique (j'ai marqué arithmétique)...