Niveau Reprise d'études

C pour calcul sans IF THEN

Posté par machintruc 29-12-18 à 03:07

Bonjour

il n'y a évidemment pas de solution unique au problème ci-dessous
je trouve la solution que je propose ici bien compliquée
certes elle fonctionne bien mais si vous en avez une plus simple je vous remercie d'avance

énoncé

$f:\mathbb {C}\rightarrow \mathbb {R}$ est une application qui vérifie (1) (2) (3) (4)

(1) quel que soit un nombre complexe   $z\in \mathbb {C}$ alors son image $f(z)$ est :

-soit uniquement une racine  d'un polynôme qui s'écrit $x^2-nx-\dfrac {\pi}{4}$ avec $n\in \mathbb {Z}^*$
qui vérifie $f(z) -\dfrac {\pi}{4f(z)} \in \mathbb {Z}$

-soit uniquement une racine  d'un polynôme qui s'écrit $x^2-(n+2)x+\dfrac {\pi}{4}$ avec $n\in \mathbb {N}$
qui vérifie $f(z) +\dfrac {\pi}{4f(z)} \in \mathbb {Z}$

(2) quel que soit un réel strictement positif $r>0$ alors il existe une quantité non dénombrable
de nombres complexes $z\in \mathbb {C}$ dont le module est supérieur à   $r$
et dont l'image $f(z)$ est une racine d'un polynôme qui s'écrit $x^2-nx-\dfrac {\pi}{4}$ avec $n\in \mathbb {Z}^*$
et qui vérifie $f(z) -\dfrac {\pi}{4f(z)} \in \mathbb {Z}$

(3) quel que soit un réel strictement positif $r>0$ alors il existe une quantité non dénombrable
de nombres complexes $z\in \mathbb {C}$ dont le module est supérieur à   $r$
et dont l'image $f(z)$ est une racine d'un polynôme qui s'écrit $x^2-(n+2)x+\dfrac {\pi}{4}$ avec $n\in \mathbb {N}$
et qui vérifie $f(z) +\dfrac {\pi}{4f(z)} \in \mathbb {Z}$

(4) quel que soit un nombre complexe $z\in \mathbb {C}$ on vérifie toujours

$cos\left( 2\pi f(z)\right)-cos\left( \dfrac {\pi^2}{2f(z)} \right) = 0$
$\dfrac {\pi}{4f(z)}.sin\left(\dfrac {\pi^2}{2f(z)} \right)-f(z).sin\left( 2\pi f(z)\right) \neq 0$

une solution

$f(z)=\dfrac {\left(2g\left(Im(z)\right)-1\right)\left(\left|\left\lfloor Im(z)\right\rfloor \right|+1\right)+\sqrt {\left(\left|\left\lfloor Im(z)\right\rfloor \right|+1\right)^2+\pi}}{2}.g\left( h\left(Re(z)\right)  \right)$
$+\dfrac {2+\left|\left\lfloor Im(z)\right\rfloor \right|+h\left(Re(z)\right)\sqrt {\left(2+\left|\left\lfloor Im(z)\right\rfloor \right|\right)^2-\pi}}{2}.\left(g\left(h\left(Re(z)\right)\right)-1\right)^2$

$g:\mathbb {R}\rightarrow \{0,1\}$

$g(x)=\left\lfloor\dfrac{2.\left\lfloor\dfrac{2.\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|-4.\left\lfloor\dfrac{\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|}{2}\right\rfloor +1 }{\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|-2.\left\lfloor\dfrac{\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|}{2}\right\rfloor +1 }\right\rfloor}{\left\lfloor\dfrac{2.\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|-4.\left\lfloor\dfrac{\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|}{2}\right\rfloor +1 }{\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|-2.\left\lfloor\dfrac{\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|}{2}\right\rfloor +1 }\right\rfloor+1}\right\rfloor .\left\lfloor\dfrac{2.\left\lfloor\dfrac{\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|-2.\left\lfloor\dfrac{\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|}{2}\right\rfloor +1 }{2.\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|-4.\left\lfloor\dfrac{\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|}{2}\right\rfloor +1 }\right\rfloor}{\left\lfloor\dfrac{\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|-2.\left\lfloor\dfrac{\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|}{2}\right\rfloor +1 }{2.\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|-4.\left\lfloor\dfrac{\left|\left\lfloor x\right\rfloor \right|}{2}\right\rfloor +1 }\right\rfloor+1}\right\rfloor$

$h:\mathbb {R}\rightarrow \{0,1,-1\}$

$h(x)=\left\lfloor\dfrac{2.\left\lfloor\dfrac{2.v(x)+1}{v(x)+1}\right\rfloor}{\left\lfloor\dfrac{2.v(x)+1}{v(x)+1}\right\rfloor +1}\right\rfloor .\left\lfloor\dfrac{2.\left\lfloor\dfrac{v(x)+1}{2.v(x)+1}\right\rfloor}{\left\lfloor\dfrac{v(x)+1}{2.v(x)+1}\right\rfloor +1}\right\rfloor -\left\lfloor\dfrac{2.\left\lfloor\dfrac{2.w(x)+1}{w(x)+1}\right\rfloor}{\left\lfloor\dfrac{2w(x)+1}{w(x)+1}\right\rfloor +1}\right\rfloor .\left\lfloor\dfrac{2.\left\lfloor\dfrac{w(x)+1}{2.w(x)+1}\right\rfloor}{\left\lfloor\dfrac{w(x)+1}{2.w(x)+1}\right\rfloor +1}\right\rfloor$

$v:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {N}$

$v(x)=\left|\left\lfloor x \right\rfloor -1\right|-3.\left\lfloor\dfrac{\left|\left\lfloor x \right\rfloor -1\right|}{3}\right\rfloor$

$w:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {N}$

$w(x)=\left|\left\lfloor x \right\rfloor +1\right|-3.\left\lfloor\dfrac{\left|\left\lfloor x \right\rfloor -1\right|}{3}\right\rfloor$

propriétés de cette solution

-Lorsque 3 divise $\left\lfloor Re(z) \right\rfloor$ et lorsque 2 divise $\left\lfloor Im(z) \right\rfloor$

alors $f(z)$ est une racine  de $x^2-nx-\dfrac {\pi}{4}$ avec $n=\left|\left\lfloor Im(z) \right\rfloor \right|+1$

et on vérifie $f(z) -\dfrac {\pi}{4f(z)} \in \mathbb {Z}$

-Lorsque 3 divise $\left\lfloor Re(z) \right\rfloor$ et lorsque 2 ne divise pas $\left\lfloor Im(z) \right\rfloor$

alors $f(z)$ est une racine  de $x^2-nx-\dfrac {\pi}{4}$ avec $n=-\left|\left\lfloor Im(z) \right\rfloor \right|-1$

et on vérifie $f(z) -\dfrac {\pi}{4f(z)} \in \mathbb {Z}$

-Lorsque 3 ne divise pas $\left\lfloor Re(z) \right\rfloor$

alors $f(z)$ est une racine  de $x^2-(n+2)x-\dfrac {\pi}{4}$ avec $n=\left|\left\lfloor Im(z) \right\rfloor \right|$

et on vérifie $f(z) +\dfrac {\pi}{4f(z)} \in \mathbb {Z}$

Posté par re : C pour calcul sans IF THEN 29-12-18 à 03:31

petite erreur d'écriture sur les propriétés de ma solution

je voulais dire

-Lorsque 3 ne divise pas $\left\lfloor Re(z) \right\rfloor$

alors $f(z)$ est une racine de $x^2-(n+2)x+\dfrac {\pi}{4}$ avec $n=\left|\left\lfloor Im(z) \right\rfloor \right|$

et on vérifie $f(z) +\dfrac {\pi}{4f(z)} \in \mathbb {Z}$