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Niveau terminale
c pour vous les Boss ! helppp
Posté par lolojubini (invité)
On considère un cube ABCDEFGH d'arète 1. Le nombre a désigne un réel strictement positif. On considère le point M de la demi-droite [ AE) défini par : vecteur AM = 1/a * vecteur AE.
1) déterminé le volume du tétraède ABDM en fonction de a.
2) Soit K le barycentre du système de points pondérés [{ M, a²) ; ( B,1) ; ( D, 1)]
a) exprimé vecteur BK en fonction de vecteur BM et BD.
b) calculer vecteur BK.AD puis en déduire l'égalité: vecteur BK.MD = vecteur nul
c) démontrer l'égalité ; vecteur DK.MB = vecteur nul
d) démontrer que K est l'orthocentre du triangle BDM
3. démontrer les égalités : vecteur AK.MB= vecteur nul et vecteur AK.MD= vecteur nul. Qu'en déduit-on pour la droite (AK) ?
4.a) Montrer que le triangle BDM est isocèle et que son aire est égale à racine caré de ( a²+2) sur 2a unités d'aire.
b) Déterminé le réel a tel que l'aire du triangle BDM soi égale a 1 unité d'aire.Déterminé la distance AK dans ce cas
Bonjour, s'il vous plait, merci sont des mots de la langue française qui sont appréciés par les correcteurs bénévoles dont tu recquiert l'aide. Essayes d'en faire usage. Merci de ta compréhension.
bonjour je n'aurai peut etre pas le temps de t'envoyer la demonstration , je dois partir aussi je t'envois d'abord la figure . Elle est pas mal non ?
a plus tard
bonjour,
j'espere qu'il n'est pas trop tard.
volume tetraedre = (B*h)/3
B = 1 * (1/a)*1/2
H= 1
V = 1/(6a)
2/ ; a on a pour le barycentre a^2 * KM + KB + KD = 0
on decompose l'expression en gardant KB et en introduisant BM et BD.
a^2 (KB + BM) + KB + KB + BD =0
cequi apres simplification donne
a^2 (BM) + BD = BK( a^2 + 2)
b: pour la suite on va se servir des coordonnées en prenant pour base orthonormee A comme origine , Ax >0 dans l sens DA , AB pour axe des y (AB>0) AE pour ax des z ( avec AE >0)
je te laisse calculer les coordonnees du point K , barycentre ; tu trouveras x= -1/(a^2+1)
y= 1/(a^2+2)
z= a/(a^2+2)
pour le produit scalaire BK*AD il nous faut encore les points B A et D
B(0 , 1 , 0) A(0 , 0 , 0) D (-1 , 0 , 0)
puis on calcule les coordonnees des vecteurs
BK ( -1/(a^2+2) , -(1+a^2)/(2+a^2) , a/(a^2+2)
AD ( -1 , 0 , 0)
MD ( -1 , 0 , -1/a)
et on trouve pour BK*AD = 1/(a^2+2)
BK*MD = 1: (a^2+2) - a/[(a)*(a^2+2)]=0
c: DK * MB =0
coordonnees du point M : (0 , 0 , 1/a)
ce qui donne pour coordonnees pour les vecteurs
DK ( -1/(a^2+2) +1 = (a^2+1)/(a^2+2)
1/(a^2+2)
a/(a^2+2)
MB ( 0 , 1 , -1/a )
et on trouve le produi scalaire = 0
d: DK est perpendiculaire a MB et BK l'est aussi à MD donc k est l'orthocentre du triangle BDM.
3 : AK * MB = 0
coordonnees des vecteurs
AK ( -1/(a^2+2) , 1/(a^2+2 , a/(a^2+2) )
pour MB voir question precedente
et on trouve pour le produit : 1/(a^2+2) - 1/(a^2+2)
on trouvera egalement AK* MD = 0 donc AK est perpendiculaire au plan BMD puisque orthogonal a 2 droites du plan BM et MD.
j'arrete aplus tard et si tu veux des commentaires
je repassrai.