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C1 difféomorphisme.
Salut à tous.
Le cours que je lis admet le théorème qui stipule que une fonction définie et à valeurs dans deux ouverts d'un espace vectoriel normé sur de dimension finie est un C1 difféomorphisme si elle est :
De classe C1
Injective
Son image de l'ouvert de départ est l'ouvert d'arrivée.
En tout point de l'ouvert de départ le déterminant de sa jacobienne n'est jamais nul.
Ce que je comprend : Les trois première hypothèse implique que la fonction est de classe C1 est bijective.
La dernière hypothèse implique que sa différentielle est en tout point un isomorphisme.
Donc il existe un isomorphisme réciproque qui est la différentielle de l'application réciproque et comme on est en dimension finie elle est continue.
Puis la fonction qui a un point de l'ouvert associe la différentielle de l'application réciproque en ce point est continue car la différentielle de l'application réciproque est continue.
D'où l'application réciproque est de classe C1.
Ai-ce correct ?
Puis la fonction qui a un point de l'ouvert associe la différentielle de l'application réciproque en ce point est continue car la différentielle de l'application réciproque est continue.
Le sens de cette phrase n'est pas très clair. peux tu préciser ?
Je pense que je n'ai pas compris en fait, je pense que j'ai du mal à assimiler la notion de différentielle.
Par exemple pour montrer que la fonction est dérivable j'ai dit que d'une part la application partielle en fixant y est dérivable (c'est projection par rapport à x) et pour le application partielle en fixant x j'ai crée une fonction taux d'accroissement en un point quelconque a de U selon le vecteur v de U
Et j'ai trouvé qui selon moi est fini.
Mais bon mon livre ne prend même pas la peine de le montrer dans la correction tellement ça serait facile.
f(x,y) = (u(x,y),v(x,y)) où u(x,y) = x et v(x,y) = y/x
u et v admettent des dp1 continues . Elles sont dérivables ( = différentiiables) .
justifier quoi ?
C'est du cours .
Tu peux aussi revenir à la définition de la dérivabilité de f en tout point de U :
Tu prends un point quelconque (x,y) de U et regardes si f(x+k,y+h) - f(x,y) peut s'écrire L(h,k) + R(h,k) où L est linéaire de 
² vers ² et R(h,k) = o(|k| + |h|)
En tout point de l'ouvert de départ le déterminant de sa jacobienne n'est jamais nul.
La matrice jacobienne de f au point (x,y) de U est
Je te rappelle que A(x,y) est la matrice dans la base canonique de ² , de la dérivée f '(x,y) ( = différentielle) de f au point (x,y) .
Tu vois donc que A est continue de U vers M2() .
f est donc C1 de U vers U . (A ce propos , il ne s'agit pas de la continuité de l'application linéaire f '(x,y) mais de celle de f ' : (x,y) 
f '(x,y) qu'on requiert pour pouvoir dire que f est C1 )
Par ailleurs f est bijective de U sur U et g := f-1 : (s,t) (s,st)
Il est donc inutile , pour étudier cet exemple , d'invoquer un "gros théorème" .
Mais si tu as un exemple plus conséquent ....
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