Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau seconde
Partager :

calcul algébrique 2

Posté par
kikipopo
20-02-21 à 16:40

Merci.
Je travaille sur ce problème maintenant.
Je vous envoie mes réponses.

Dans le repère orthonormal (joint) la courbe C représente la fonction f définie sur  R par
f(x)= x(x-4)
On note g la fonction définie sur R par
g(x) = x(x-4)
1 a) vérifier que pour réel x f(x)= 4-(x-2)2
b) vérifier que pour tout réel x f(x)\leq4

2 vérifier que pour tout réel x g(x) -f(x)
b) comment obtenir la coube C? associée à g à partir de la courbe C ? Tracer C et C? dans le même repère.

B application à l?aire d?un rectangle

soit OAB un triangle rectangle en O tel que OA=6 et OB=4.
M est un point du segment AO et N un point de la demi droite BO tel que BN=OM
On pose OM = x. On construit le rectangle OMPN et on note  A(x) son aire en fonction de x.

1) Faites 2 figures en choisissant pour l?une
0<x<4 et pour l?autre 4<x<6
2) En exploitant ces deux cas , démontrer que la fonction A est définie par
A(x) = x(4 ? x) si x \varepsilon
[0 ; 4]
et A(x) = x(x-4) si x  \varepsilon
[4 ; 6]
3) sur la figure de la partie A, contruisez en rouge la courbe représentative de A
4) a) Peut-pn lire sur le graphique les valeurs exactes de x telles que A(x) = 3 ?
b) trouvez ces valeurs par le calcul. Déduisez-en l?ensemble des réels x tels que A(x)
\geq3

*** message déplacé ***

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 20-02-21 à 17:12



1 a) f(x) =x(4-x)  x=0   x=4  
1b)  0<x\leq4

2a) g(x) =  -f(x)
g(x)= 0   x = 0
g(x) = 0  x= 4
g(x) = - 4  x= 2     f(x) = 4   x=2

2b) pour obtenir la coube C' associée à g à partir de la courbe C, il faut établir un tableau de valeurs, un tableau des signes,  un tableau de variations de la courbe.

  

calcul algébrique

*** message déplacé ***

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 20-02-21 à 17:38

Vous n'auriez pas dû poser ce nouveau problème à la suite puisqu'il n'a pas de rapport

Revoyez votre texte, il est peu compréhensible  

*** message déplacé ***

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 20-02-21 à 18:23

Pour f on pourrait avoir f(x)=x(4-x)

f(x)=4x-x^2=4-(4-4x+x^2)=4-(x-2)^2

Comme on enlève une quantité positive de 4  on a donc  f(x)\leqslant 4

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 20-02-21 à 18:52

J'ai posté le nouvel exercice dans la continuité de l'échange.
Je ferai autrement la prochaine fois.

1 a) vérifier que pour réel x f(x)= 4-(x-2)2
pour f(x) = x(4-x)   f(x) = 4   x= 0  et  x = 4  


b) vérifier que pour tout réel x f(x) \leq 4
On observe sur la courbe C qui représente f(x)  que f(x) est compris entre [0;4]

2 vérifier que pour tout réel x g(x) -f(x)

g(x)= 0   x = 0      x= 4

pour obtenir la coube C' associée à g à partir de la courbe C, il faut établir un tableau de valeurs, un tableau des signes,  un tableau de variations de la courbe.

g(x) = - 4  x= 2     f(x) = 4   x=2

b) comment obtenir la coube C' associée à g à partir de la courbe C ? Tracer C et C' dans le même repère.

Pour obtenir la coube C' associée à g à partir de la courbe C, il faut établir:
- un tableau de valeurs,
-un tableau des signes,  
-un tableau de variations de la courbe.

le graphique joint représente les deux courbes C C'

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 20-02-21 à 19:25

Oui c'est un problème un sujet cela permet un meilleur référencement  

f(x)=x(4-x) Est-ce bien cela ?

Si l'on vous demande de montrer que f(x)=4-(x-2)^2 pourquoi calculez-vous f(x)=4 ?

Soit on l'établit  en ajoutant et en soustrayant 4

 f(x)=4-4+4x-x^2 =4-(4-4x+x^2) dans la parenthèse on reconnaît une identité  d'où le résultat

Soit on vérifie donc on développe  4-(x-2)^2  on a alors 4x-x^2 =(x(4-x)=f(x)

Pour montrer que pour tout x, f(x)\leqslant4 deux possibilités

On résout 4-(x-2)^2\leqslant 4  ce qui est équivalent à -(x-2)^2 \leqslant 0   cette inégalité est toujours vraie,

ou comme je l'ai dit plus haut.

Citation :
2 vérifier que pour tout réel x g(x) -f(x)



Que veut-on vérifier ? Comment est définie g ? g(x)= x(x-4) Est-ce cela ?

Si vous avez montré que g=-f  alors vous pouvez affirmer que la courbe représentative de g
se déduit de celle de f par la symétrie d'axe l'axe des abscisses.

calcul algébrique 2

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 20-02-21 à 19:46

J'avais répondu avant de voir votre première réponse, je croyais que vous attendiez que je précise mon texte pour compléter votre réponse.

Votre première réponse utilisait la forme canonique.
en posant l'inégalité c'est plus simple pour l'instant.

Pour g c'est bien ce qu'on veut vérifier g(x) = x(x-4)
Est-ce que ce que j'ai écrit est une démonstration suffisante de g = -f

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 20-02-21 à 19:59

D'où part-on ?  de g=-f ou de g(x)=x(x-4)

premier cas  g(x)=-x(4-x) =x(x-4)

deuxième cas g(x)=x(x-4)=x(-(-x+4))=-x(4-x)=-f(x)

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 20-02-21 à 21:09

dans le premier cas on risque de moins faire d'erreurs.

Je ne sais pas quoi faire pour démontrer la définition de A.

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 20-02-21 à 23:20

En exploitant ces deux cas , démontrer que la fonction A est définie par
A(x) = x(4 - x) si x \epsilon [0 ; 4]
et A(x) = x(x-4) si x  \epsilon [4 ; 6]

la fonction A(x) définie par

x                                        0          1         2         3        4        5        6

4x - x2     0          3        4          3       0      
x2 - 4x                                                   0        5       12

Les valeurs exactes de x telles que A(x) =3 sur le graphique sont 1 et 3

Trouver ces valeurs par le calcul
Si x = 1 A(x) = x(4-x) = 4-1 = 3
Si x = 3 A(x) = 12-9 = 3

calcul algébrique 2

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 10:09

On peut envisager une valeur absolue   f étant définie sur [0~;~6]

 A(x)=\vert f(x)\vert ce qui donnerait

 $si $ x\in \ [0,4]  f(x)\geqslant 0\   $donc   $A(x)= f(x)=x(4-x)

 $si $ x\in \ [4,6]  f(x)\leqslant 0\   $donc   $A(x)=- f(x)=x(x-4)

J'aimerais bien le texte complet car là j'ai l'impression que vous racontez le texte par morceaux au gré des messages et on n'a pas une vision d'ensemble de ce qui est demandé

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 11:27

Bonjour,
J'ai  copié intégralement le texte du problème dans mon message de 16h40 , hier, sauf les figures que j'ai reproduites dans mes réponses :
- courbe x\rightarrow x(4-x)
- rectangle 0<x<4

calcul algébrique 2

calcul algébrique 2

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 11:47

Je n'avais pas remarqué que vous étiez passé à la seconde partie  celle concernant les rectangles

x\in[0~;~4]

OM= x et ON=OB-BN=4-x  par conséquent l'aire du rectangle A(x)=x(4-x)

Si x\in[4~;~6]  alors  N  n'appartient pas au segment [OB[ Par conséquent ON=OB+BN=4+x

L'aire du rectangle OMPN est donc  A(x)=x(4+x)

Je ne comprends pas comment on pourrait avoir x-4 pour la longueur de ON

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 12:26

x-4 c'est faux , ON = 4-x

Je ne vois pas comment ON  = 4+x
0B + BN \vec{OB}+\vec{BN}=4-x ?

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 13:20


Au temps pour moi

j'ai pris  la demi-droite [OB) au lieu de la demi-droite [BO)

Dans le cas où x>4 on a alors O \in[BN] donc ON =BN-BO  donc ON= x-4

et l'aire du rectangle est alors x(x-4)

On a bien  si x\in [0~;~4] \ \A(x)=x(4-x) et si x\in [4~;~6] \ A(x)=x(x-4)

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 14:24

Merci.
4) a) Peut-pn lire sur le graphique les valeurs exactes de x telles que A(x) = 3 ?

Je l'ai déjà dit une fois : x [1 ; 3]  

b) trouvez ces valeurs par le calcul. Déduisez-en l'ensemble des réels x tels que A(x)
\geq 3

x(4-x)\geq 3  x\geq 3        et      4-x-3 \geq 0
   1-x \geq 0     x \leq 1

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 15:16

Oui ce sont des nœuds du quadrillage A(x)=3 \iff  \big( x=1  $ ou $  x =3\big)\quad x\in[0~;~4]
Il y en a une autre entre 4 et 6 qui, elle, n'est pas exacte


Résolution de A(x)\geqslant 3

Premier cas x\in [0~;~4]

4x-x^2\geqslant 3 \iff  x^2-4x+3\leqslant 0\iff (x-1)(x-3)\leqslant 0

tableau de signe ou trinôme du signe de a sauf entre les racines.   Solution pour ce premier cas [1~;~3]

Second cas x\in [4~;~6]


x(x-4)\geqslant 3\iff  x^2-4x-3\geqslant 0

x^2-4x-3 =x^2-4x+4-7=(x-2)^2-7


Les racines du trinôme sont 2-\sqrt{7} et 2+\sqrt{7}

même théorème  (x-2)^2-7 \geqslant 0 $ si $ x\geqslant 2+\sqrt{7}

Solutions dans cet intervalle [2+\sqrt{7}~;~6]

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 15:28

les rectangles

calcul algébrique 2

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 15:36

J'avais vu la 3ème position mais je l'ai éliminée je ne pas pourquoi je pensais qu'elle ne faisiat pas partie de la solution.

Est-ce que mon calcul pour les 2 premières positions est bon ou le vôtre est le seul qui est acceptable ?

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 15:40

Avec quoi peut-on faire ces rectangles ? ça illustre bien le problème.

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 15:49

Le dessin est fait à l'aide de GeoGebra  On devrait pouvoir faire mieux en plaçant un point sur les morceaux de courbe pour lire les valeurs de l'aire

Pour la lecture graphique vous donnez un intervalle Pour A(x)=3 ce ne sont que 2 valeurs
donc l'ensemble est  \{1~;~3\}

Comment résolvez-vous une inéquation du second degré  ?

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 16:46

Dans les 2 cas le delta est positif donc il y a deux solutions


Je dois m'absenter à cause du couvre-feu.
Je vais reprendre un peu plus tard.

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 18:20

pour résoudre l'inéquation du second degré, je peux chercher le \Delta
mais avec la mie en facteur comme vous le faites ne nécesite pas de rechercher le \Delta.  
J'ai l'impression d'avoir trouver le même résultat que vousmais ... ce n'est qu'une impression vraisemblablement.
Donc pour résoudre une inéquation du second dégré, il faute mettre en facteur et résoudre chaque élément des facteurs.

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 18:31

D'après GéoGebra , si x = 0 pour x(4-x) \leftrightarrow =4
et pour x(x+4) =-2 si x= 6

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 18:33

Ce n'est pas l'impression que j'ai eu lorsque vous avez résolu A(x)\geqslant 3

pour (4-x)x \geqslant 3   il n'y avait pas de problème les valeurs qui annulent sont entières

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 18:34

ce qu'on peut vérifier par le calcul

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 18:36

18 :31 qu'est -ce ?  On ne peut avoir -2 puisque A est une aire donc positive.

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 18:50

C'est bien ce qu'on voit sur votre animation

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 19:22

Je n'aurais peut-être pas dû garder les axes.

Si  x est supérieur à 4 alors le rectangle va se trouver sous la droite (OA) Cela permet de voir comment ou où  on va construire le rectangle lorsque l'on fera le dessin

Mais la distance ON sera au maximum 2  donc si on se place sur un axe donc l'ordonnée de N sera -2 mais ce n'est pas le problème. Ce qui importe  c'est l'aire du rectangle.

Dans le cas où x\geqslant 4 l'aire est x(x-4) donc à résoudre x^2-4x-3\geqslant 0

On va donc calculer \Delta ;  \Delta=16+12=28 donc le trinôme a deux racines

x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}   soit  x_1=\dfrac{4-2\sqrt{7}}{2}=2-\sqrt{7}

x_2=2+\sqrt{7}

En laissant tomber la partie négative  le trinôme est positif sur  [2+\sqrt{7}~;~+\infty[
donc en se restreignant à l'ensemble [4~;~6]

A(x)\geqslant 3 si x\in [2+\sqrt{7}~;6]

En résumé A(x)\geqslant 3  \ $si  $\ x\in [1~;~3]\cup[2+\sqrt{7}~;~6]

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 23:01

tableau de signes

calcul algébrique 2

calcul algébrique 2

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 21-02-21 à 23:42

Premier cas   x\in [0~;~4]

(4-x) x \geqslant 3\iff x^2-4x+3 \leqslant 0

Tableau de signes calcul algébrique 2

Conclusion \mathcal{S}=[1~;~3]

Second cas x\in [4~;~6]

x(x-4)\geqslant  3 \iff  x^2-4x-3\geqslant 0

Tableau de signes calcul algébrique 2


Conclusion  \mathcal{S}=[2+\sqrt{7}~;~6]
 \\

Ensemble  \mathcal{A}(x)\geqslant 3  \quad \mathcal{S}=[1~;~3] \cup [2+\sqrt{7}~;~6]

Si je n'ai pas fait d'erreurs en tapant   D'accord  ?

Posté par
kikipopo
re : calcul algébrique 2 22-02-21 à 10:01

Bonjour,
Merci. Je n'ai pas vu de faute de frappe.
Il faut que je fasse d'autres exercices pout tout intégrer.
Bonne journée.

Posté par
hekla
re : calcul algébrique 2 22-02-21 à 11:58

Bonjour

De rien

Bonne journée



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !