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Niveau Maths sup
Calcul algébrique
Posté par Harrykeith
Bonsoir la famille pouvez-vous m'aidwe sur cet exo. Il s'agot de momtrer que 2014 n'est pas la some de deux carré. J'ai essayé un raisonnement par l'absurde en posant 2014=a^2+b^2 mais j'y suis bloqué sans savoir quoi faire.
Bonjour,
Est-il précisé dans l'énoncé que "carré" signifie "carré d'entier" ?
Je fais comme si.
Une piste :
2014=a2+b2 implique a2 
2014.
Si a est un entier naturel, ça donne un nombre fini de valeurs de a.
Tu peux aussi te contenter de chercher des entiers a et b de même parité, sinon 2014 serait impair. Ca divise par deux le boulot déja divisé par sqrt(2014) 
Bonjour,
verdurin disait bien plus que uniquement "2014 non multiple de 4" !
l'intérêt est de prouver sans chercher des valeurs, fussent-elles en nombre relativement réduit
- démontrer que 2014 est somme de deux carrés si et seulement si 1007 est somme de deux carrés
on pourra utiliser l'identité (a+b+1)² + (a-b)² = 2a² + 2b² + 2a + 2b +1
- démontrer par des congruences modulo 4 que 1007 ne peut pas être somme de deux carrés.
Pourquoi utiliser 1007 pour montrer que 2014 n' Pas la somme de deux carré je comprends pas. Je suis un peu largué
Bonjour,
En espérant les clarifier, je reprends certains messages d'aide en modifiant seulement les lettres :
Citation :
on pourra utiliser l'identité (k+k'+1)² + (k-k')² = 2k2 + 2k'2 + 2k + 2k' +1
on pourra utiliser l'identité (k+k'+1)² + (k-k')² = 2k2 + 2k'2 + 2k + 2k' +1
Citation :
Developpe^2+(2k'+1)^2)
et tu verras que ça implique que 1006 est multiple de 4, ce qui n'est pas possible.
Developpe
Attention : la somme de 2 carrés peut être un multiple de 4.
Je crois qu'on l'a embrouillé 
Voici la méthode que je propose avec tout dans l'ordre
1) un entier et son carré sont toujours de même parité, parce que . Quand
,
et donc
.
Plus directement, 2 est premier donc le morphisme de Frobenius donne instantanément le résultat
2) . Si A et B sont de parité différente, A² et B² aussi et donc 2014 = A²+B² est impair. Impossible. Donc A et B ont même parité.
3) Si A=2a et B=2b, 2014 = A²+B² = 4a²+4b² = 4(a²+b²) et donc 2014 est multiple de 4. Faux aussi, donc A et B sont impairs : A=2a+1, B=2b+1.
4) On développe gentiment . Donc
avec
un entier pair, i.e 2012 = 8C avec C un entier.
Donc (on divise par 2) : 1006 = 4C. Absurde, car 4 ne divise pas 06.