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Calcul algébrique & Probabilités
Bonjour,
Je bloque sur un exercice de calcul sur des probabilités (niveau terminale S). En fait, il y a des zones d'ombre que je n'arrive pas à éclaircir.
Voici la question :
Dans un sac se trouvent 3 jetons bien équilibrés. 2 jetons ont une face noire et une face blanche, et le 3ième possède 2 faces noires.
On prend un jeton au hasard et on le lance n fois de façon indépendante.
Avec l'arbre pondéré ce sera plus clair (ci-joint).
Données (que j'ai dû calculer) : P(N) = 2/3, P(Nbarre) = 1/3,
P(B) : on obtiens une face blanche au 1er lancer = 1/3
Ln : on obtiens une face noire aux n premiers lancers
En remarquant que Ln = (Ln N)
(Ln
Nbarre), montrer que la probabilité de l'événement Ln est égale à 1/3(1+(1/2)n-1).
Mon problème :
On a donc, il me semble :
Ln = (1/3 * 1 n ) union ( 2 * 1/3 * (1/2)n+1)
Mais comment passe-t'on de : (2*1/3*(1/2)n+1) à (1/3*(1/2)n-1) ?
Essais : 2 * 1/3 * 1/2n = 2/3 * 1/2n = 1/2(2/3(1/2n)) = (1/2*2/3) * (1/2*1/2n) = 1/3 * 1/2n-1 ?
Partie de l'exercice que j'ai réussie, il me semble :
Ln = (1/3 *1n) (1/3 *(1/2) n-1)
Or 1 à la puissance n est toujours égal à 1, et réunion est ici équivalent à un "+" puisque qu'il n'y a pas d'intersection. d'où :
Ln = (1/3 * 1) + (1/3 * (1/2) n-1)
On repère K(a+b) = Ka + Kb; D'où :
Ln = 1/3(1+(1/2)n-1).
Voilà.
Merci d'avance de votre aide.
salut
la probabiité d'avoir un jeton bicolore est 2/3 , celle d'avoir un jeton unicolore est 1/3
P(avoir que des faces noires au n 1ier lancés )= P(avoir que des faces noires au n 1ier lancés/ tiré un jeton bicolore) .P(on a tiré un jeton bicolore) + P(avoir que des faces noires au n 1ier lancés/ tiré un jeton unicolore) .P(on a tiré un jeton unicolore) .
pour le calcul de :
- P(avoir que des faces noires au n 1ier lancés/ tiré un jeton bicolore) .P(on a tiré un jeton bicolore) , quand on a un jeton bicolore la proba d'avoir une face noire est 1/2 donc en appliquant la loi binomiale , on obtient C(n,n).(1/2)^n
-P(on a tiré un jeton bicolore) = 2/3
- P(avoir que des faces noires au n 1ier lancés/ tiré un jeton unicolore) = 1
P(on a tiré un jeton unicolore) = 1/3
ce qui donne en tout C(n,n).(1/2)^n *2/3 + 1*1/3 = 1/3.(1 + (1/2)n-1)
Bonjour,
Je ne suis pas sûre d'avoir tout compris; Dans votre formule : C(n,n).(1/2)^n *2/3 + 1*1/3 quel est le rapport avec : Ln = (Ln \bigcap{} N) \bigcup{} (Ln \bigcap{} Nbarre), ?
Et comment passez-vous de C(n,n).(1/2)^n *2/3 + 1*1/3 à 1/3.(1 + (1/2)n-1) ?
salut
C(n,n).(1/2)^n *2/3 + 1*1/3 = 1.(1/2)^n *2/3 + 1*1/3 = 1/3.((1/2)^n *2 + 1)
or (1/2)^n * 2 = 2^(1-n) = 2^-(n-1) = 1/(2^(n-1)) = (1/2)^(n-1) et donc
1/3.((1/2)^(n-1) + 1)
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