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Niveau troisième
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calcul d'aire

Posté par
stabiloman
16-03-18 à 13:27

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire cet exercice. Je vous demande de l'aide. Voici l'énoncé :

Démontrer que l'aire du demi-disque de diamètre a est égale à la somme des aires des demi-disques de diamètre b et c.  Schéma ci-dessous

Voici ce que j'ai commencé :

Aire d'un demi-disque = (Pi * r²) / 2

somme des aires des 2 demi-disques :
         (Pi * b/2²) / 2  +  (Pi * c/2²) / 2 = (Pi * a/2²)/2

Le dessin montre que le triangle est rectangle donc doit on utiliser pythagore et surtout pourquoi ?

Je ne sais pas du tout comment faire .

Merci de votre aide

***Image recadrée***

calcul d\'aire

Posté par
carita
re : calcul d'aire 16-03-18 à 13:46

bonjour

quelle est ta question exactement ?

comment es-tu arrivé à établir cette égalité ? --- il y manque des ( )
         (Pi *(b/2)²) / 2  +  (Pi * (c/2)²) / 2 = (Pi * (a/2)²)/2

... parce que c'est celle à laquelle tu dois arriver.
quand tu es là, il suffit de conclure.

Posté par
mathafou Moderateur
re : calcul d'aire 16-03-18 à 13:48

Bonjour,
de façon générale écrire que ce qu'on veut démontrer est vrai avant de l'avoir démontré va empêcher de voir comment le démontrer !!

somme des aires des 2 demi-disques :
(Pi * b/2²) / 2 + (Pi * c/2²) / 2 point final

on ne sait pas du tout si oui ou non c'est égal à (Pi * a/2²)/2

donc ce qu'on va faire c'est transformer cette expression
(Pi * b/2²) / 2 + (Pi * c/2²) / 2

en la développant et en mettant en facteur une constante commune qui devrait alors sauter aux yeux.
puis utiliser Pythagore, tout à fait.
et c'est fini.

Posté par
carita
re : calcul d'aire 16-03-18 à 13:57

bonjour Mathafou
je m'éclipse et vous laisse poursuivre si vous le souhaitez.

Posté par
mathafou Moderateur
re : calcul d'aire 16-03-18 à 14:04

Bonjour carita, nos messages se sont croisés
à deux on peut voir des erreurs qui seraient passées inaperçues : je n'avais même pas remarqué le défaut de parenthèses.
tu as commencé, tu peux continuer, loin de moi l'idée de te faucher l'herbe sous le pied.
de toute façon on attend la réaction de stabiloman

Posté par
stabiloman
re : calcul d'aire 16-03-18 à 14:31

merci pour vos réponses rapides

En fait l'égalité je l'ai déduite par rapport à l'énoncé mais comment le démonter je n'en sais rien. Sans autre données ça me semble impossible

Posté par
mathafou Moderateur
re : calcul d'aire 16-03-18 à 14:52

ce que tu as déduit de l'énoncé est

\dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{b}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{c}{2}\right)^2  \stackrel{\red ?}{=}  \dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^2

\stackrel{\red ?}{=} et non pas égal ( = ) car tu n'en sais encore rien

je t'ai dit ce qu'il fallait faire de la première partie pour espérer obtenir la seconde et ainsi démontrer que c'est égal

\dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{b}{2}\right)^2 = quoi une fois développé et simplifié ?
etc

Posté par
stabiloman
re : calcul d'aire 16-03-18 à 15:15

aire du demi-disque b
    1/2* Pi  *(b /2)²  =  1/2Pi * b²/4  =  Pi * b² / 8

aire du demi disque c
    1/2 * Pi * (c/2)²  =  1/2Pi * c² / 8  =  Pi * c² / 8

somme des 2 aires
    Pi * b² / 8   +   Pi * c² /8

est-ce que c'est juste ? j'avoue que je trouve le raisonnement difficile

Posté par
mathafou Moderateur
re : calcul d'aire 16-03-18 à 15:24

oui c'est bien ça

qu'on peut écrire sous la forme

\dfrac{\pi}{8}b^2 +  \dfrac{\pi}{8}c^2

et maintenant :

Citation :
... en mettant en facteur une constante commune qui devrait alors sauter aux yeux.
puis utiliser Pythagore

Posté par
stabiloman
re : calcul d'aire 16-03-18 à 18:03

Donc je mets "en facteur une constante commune" :  Pi / 8

           Pi / 8  (b² + c²)

Pythagore c'est : BC²  =  AB²  +  AC²
           dans ce cas là j'écrirai ;  a²  =  b² + c²

mais je ne vois toujours pas comment mettre en relation les 2 (si c'est juste bien sûr)
          

Posté par
mathafou Moderateur
re : calcul d'aire 16-03-18 à 18:15

bein tu viens d'écrire que la somme des aires des deux premières lunules est

Pi / 8 (b² + c²)

et que a² = b² + c²
donc la somme des aires des ces deux pemières lunules est bien Pi / 8 (a²)
(il suffit de remplacer b²+c² par a² puisque Pythagore dit que c'est la même chose)

or Pi / 8 (a²) c'est quoi par rapport à la troisième lunule ? (lui faire subir la même simplification)

tu as terminé l'exo sans même t'en rendre compte !!
(par manque de logique générale et de compréhension de ce que tu calcules, de pourquoi et dans quel but)

Posté par
stabiloman
re : calcul d'aire 17-03-18 à 19:24

Bonjour,

Je reviens pour terminer l'exercice.

Pi / 8 (a²) est l'aire du demi-disque a (je l'ai calculé sur mon brouillon)

d'après pythagore :  a²  =  b²  + c²    soit  Pi / 8 (a²)  =  Pi / 8 (b²) + Pi / 8 (c²)

Par conséquent l'aire du demi-disque de diamètre a est bien égale à la somme des aires des demi-disques de diamètre b et c

Est-ce que la rédaction finale est bonne ?

Merci encore pour votre aide

Posté par
mathafou Moderateur
re : calcul d'aire 17-03-18 à 19:43

oui, si tu ajoutes que l'aire des deux autres demi disques est respectivement pi/8 b² et pi/8 c²

Posté par
stabiloman
re : calcul d'aire 17-03-18 à 20:24

Merci beaucoup Mathafou pour votre aide précieuse. Merci aussi à Carita qui a participé aussi au départ

Posté par
carita
re : calcul d'aire 17-03-18 à 23:35

... de rien, pour ma part.

bonne fin de soirée à tous



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