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Calcul d'aire polygone régulier de n côtés
Si la question ne fut pas déjà posée sur ce forum, construire un pentagone régulier (règle et compas) Expliquez votre construction. Calculer son aire connaissant le rayon R du cercle circonscrit. Partant de votre raisonnement précédent créez une formule générale donnant l'aire d'un polygone régulier de n côtés connaissant le rayon R du cercle circonscrit.
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Evidemment c'est du classique. Mais tous les ans les étudiants ne sont pas les mêmes et il est préférable que chacun fasse d'abord l'effort d'une recherche personnelle plutôt que de copier sur le voisin.
D'ailleurs nous arrivons dans une époque riche en surprises. Sur un autre site, il y a quelques mois, cependant rien à voir avec les maths pour ainsi dire, un internaute m'écrivait. Vous donnez le problème, mais vous ne donnez pas la solution, comment voulez'vous que je vous réponde ? Quand je pense que j'ai au moins cinq fois l'âge des bacheliers, je suis abasourdi. Disons c'est la relève, faudra bien faire avec.
Bonjour,
J'ai l'impression que l'homo sapiens sapiens va laisser place
à l'homo connecticus .
Jusqu'ici il fallait utiliser son cerveau pour faire des outils
aussi complexes soient-ils. Demain il suffira de cliquer pour
vivre alors à quoi bon apprendre
Bonjour B055K3V
L'idée est bonne de joindre deux à deux les sommets d'un décagone. Seulement la question posée est avec règle et compas.
Maintenant le nombre phi = 1,618..qui semble être ce que l'on appelle nombre d'or, n'est pas un nombre rationnel tout comme le nombre pi d'ailleurs.
Maintenant quant à l'utilisation du nombre phi pour construire le décagone, c'est peut être à mon niveau une colle, car je ne me suis pas encore posé la question pour entrevoir son utilisation....
Toutefois, je souhaiterais que l'on revienne un peu comme il y a au moins 60 ans avec géométrie, règle et compas. Et il y avait ce que l'on appelle la géométrie descriptive qui permettait de développer l'intelligence et les circuits neuronaux logiques. Prenons exemple sur les ingénieurs qui ont conçu et permis d'édifier la Tour dite Eiffel. Allons plus loin encore dans le temps, de vrais géomètres, Démosthène,Pythagore, Euclide.....et les autres, les noms m'échappent.Les bâtisseurs des pyramides..... et en France, quasiment seul pays au monde ayant les plus belles cathédrales et parfois plus de 1000 ans après, sont debout et ne prennent pas une ride....... Alors que nos édifices modernes s'effondrent au bout d'un certain temps, comme des boîtes d'allumettes.
Pour répondre à Dpi .
Je suis personnellement lassé de passer du temps à rédiger une réponse originale juste avant qu'un message suivant me renvoie à un lien wikipedia qui torche le problème en deux temps trois mouvements .
En bref la recherche des grands classiques , c'est du passé . Quand je pense aux heures que j'ai passées sur le problème de Sylvester : les jeunes ne savent pas ce qu'ils perdent . En contrepartie ils ont sous la main une monstrueuse banque de données que j'aurais aimé avoir à leur âge 
Imod
Bonsoir
>Imod
Tu as bien raison. Je pense que pour le moment, nous
sommes entre deux cultures:
*Nos bases qui nous ont ouvert l'esprit avec des outils
classiques .
*le merveilleux monde du numérique qui allie à la fois
les bases (genre Wikipédia) et les outils genre imprimante 3D.
*Si le monde enseignant se voit offert les possibilités de
lier les 2 ,le monde sera formidable, sinon les disparités
vont être incroyables.
Bonjour à tous, Je vois que mon petit exercice ne fait pas des émules. Je vais donner un petit coup de pouce:
Bonjour,
Désolé, nous étions partis sur de la, philo..
Pour revenir au pentagone,voici mon idée
1 Obtenir 
Je trace un carré de 1 de coté je trouve le milieu d'un coté
(méthode des 2 arcs).Je relie ce point à un sommet et je trace
un quart de cercle qui coupe le coté adjacent.
J'ai donc 1 et .
2 trouver les 2 premiers cotés du pentagone
On sait que les diagonales et les cotés sont dans le rapport
Nous Traçons aux deux extrémités de notre segment
deux arcs de cercle de rayon 1 qui se couperont en A.
Nous sommes sûrs que les 2 rayons issus de A forment les
2 premiers cotés du pentagone et par rotation on trouve les autres.
Bonjour dpi,
J'ai essayé de résoudre par votre méthode, mais j'ai trouvé un os. Je suis le novice Candide. Pour le carré OK; Mais ensuite je mets ma pointe sèche de compas où ?
A mon niveau dans l'escalier, il manque une marche. Je joins mon dessin;
Re bonjour dpi,
OK, merci. J'ai vu. Si (avec des si),j'avais compris où mettre la pointe sèche pour tracer le quart de cercle, j'aurais pu trouver, puisque le reste coule de source. En fait c'est une solution que je ne connaissais pas. Je propose maintenant la mienne en fichier ( j'avais géogébra, mais je l'ai désinstallé, je préfère ma vieille méthode)
En complément de mon croquis plus haut et ensuite trouver une formule générale pour calculer l'aire des polygones réguliers, connaissant le rayon R du cercle circonscrit
Bonjour,
j'adore le "on vérifie aisément que
toute la difficulté est là justement !!
on vérifie que (à la calculette) oui
pas que c'est "mathématiquement égal".
il y a des méthodes "élémentaires" via des triangles semblables etc prouvant l'affirmation de dpi
On sait que les diagonales et les cotés sont dans le rapport
)
et donc conduisant à une construction "du genre de celle de dpi"
nota : dans ta construction on "retrouve" celle de dpi de
= AD (ton AD) à partir du carré de côté OA
on peut aussi étudier le décagone (géométriquement), en déduire que
les côtés des décagones réguliers convexes et étoilés inscrits dans un même cercle ont pour différence et pour moyenne géométrique le rayon de ce cercle
ce qui permet de les construire, et en prenant un point sur deux de construire le pentagone.
etc ... ce n'est pas les constructions du pentagone qui manquent !
par exemple une construction rapide et directe du pentagone inscrit (preuve laissée au lecteur) :
J milieu de OI
cercle de centre J de rayon JA coupe (OI) en M et N
cercles de centres A de rayons AM et AN coupent le cercle de départ en les sommets BCDE du pentagone.
(on remarque qu'on construit encore le nombre d'or quelque part dans cette figure : IN est =
Bonsoir,
>mathafou
On sait que le rapport diagonales/cotés est
presque aussi bien que circonférence/diamètre est
.
Sinon il faut reprendre toutes les démos depuis 1+1=2 (et encore
)
l'étude du pentagone régulier est-elle dans quelque cours que ce soit de nos jours ?
donc non, on ne "sait" pas.
ce n'était pas non plus dans le cours de mon époque (bouquin - Lebossé Hemery - sous les yeux).
la définition de elle même n'est nulle part, on ne la trouve que dans des exercices...
il ne faut pas exagérer non plus pour remonter à 1+1 = 2, mais pas supposer que des trucs "de spécialiste" sont connus de tous.
seuls les petits curieux qui s'intéressent à des problèmes "récréatifs", à des bouquins hors programmes scolaires, peuvent le "savoir".
Bonsoir,
j'en conclus que si on me demande de tracer un pentagone
à la règle et au compas et que je concrétise sans
détailler phase 1 et phase 2, l'examinateur
me dira :c'est impossible vous ne deviez pas savoir .
parfaitement, le pentagone régulier n'est pas "dans le cours" ..
ceci dit "à l'oral" il pourrait tout à fait exiger que tu le démontres ...
à l'écrit, pas de dialogue, il pourrait tout à fait retirer des points pour "affirmation gratuite sans preuve"
Bonjour mathafou,
""j'adore le "on vérifie aisément que \cos \dfrac{2\pi}{5} = \cos 72° = \dfrac{\sqrt{5} -1}{4}""
l==> Il y a six décennies nous n'avions pas de calculette, mais des tables comme des tables de logarithmes.
Nous avions appris la construction, mais jamais la démonstration. C'est personnel qu'il y a des années que j'avais montré par vérification avec les tables pré-établies...
""il y a des méthodes "élémentaires" via des triangles semblables "" l==> Je ne comprends plus les programmes de vos jours. Un étudiant qui vient d'entrer en première ( à peine 15 ans c'est bien). Je lui dis que toute parallèle à une base dans un triangle détermine des triangles semblables. Il n'a jamais entendu parler de triangles semblables ?.?.?. J'en suis interloqué.
Personnellement j'ai beaucoup "bossé" avec "Lespinard-Pernet", en géométrie il était très "poussé".
Rien que pour la résolution des triangles, il y en a toute une "tartine".
Maintenant le calcul des aires....
Raison pour laquelle, je suis parti avec les angles.....
Entre parenthèses, on ne parle plus de cotangente, ni de sécante, ni de cosécante.
Merci aussi à dpi
Maintenant, je me demande si les programmes, ne sont pas établis pour faire des hommes-robots et non des roseaux pensants
Voyons une généralisation des surfaces des polygones réguliers inscrits connaissant R et n
mais des tables ...
qui donnent des valeurs approchées, comme les calculettes, ce n'est que des valeurs approchées et ça ne "prouve rien".
pour les aires en général, le passage par le sin(2pi/n) est incontournable.
pour les bouquins, de mon temps c'était les Lebossé et Hémery
si on veut aller plus loin dans la géométrie élémentaire, comme ça ne se fait plus, il y a des bouquins "historiques" (le Lebossé Héméry de Terminale avait été réédité il y a peu) ou des curiosités "plus modernes" comme "la géométrie du triangle" de Sertais.
ou des bouquins en anglais comme les "College Geometry" de Nathan Altshiller-Court (ça date aussi) etc...
mais sûrement pas les bouquins de classe actuels !
quant à la démonstration de la propriété avec le nombre d'or, par exemple :
on montre facilement (angles) que le triangle DME est isocèle et que ME = MD
on montre tout aussi facilement que les triangles AME et DAB sont semblables
donc DA/AM = AB/ME
et comme AM = AE = AB et DA = DM+MA = ME+AB on extrait une équation qui donne AD/AB :
qui se trouve être la même équation qui sert à définir le nombre d'or ...
Bonsoir,
Quel bonheur d'avoir vécu de si belles années.
Car aujourd'hui avec nos bases et les moyens modernes
nous sommes capables de prouesses qui ne seront pas
toutes "orthodoxes" pour les puristes, mais....
Bonjour à tous les intervenants,
Je suis quand même stupéfait de ne voir que des anciens encore motivés pour les sciences ou math !
Bon, maintenant si au moins des jeunes pouvaient faire l'effort de donner la surface de ce pentagone et une généralisation de tous les polygones réguliers en fonction de R rayon du cercle circonscrit ?
Bonjour,
voici une ancienne méthode simple de construction du pentagone utilisée au moyen-âge par les compagnons.
on construit un rectangle barlong de côtés AB = 2 BC
on trace la diagonale DB et la médiane ST.
cette médiane coupe la diagonale en O' et le côté DC en O.
Par O on trace le cercle de rayon OC et par O' le cercle de rayon O'S = 1/2 OC
avec D comme centre, on trace les cercles passant par M et N, points d'intersection de la diagonale DB avec le cercle de rayon O'S.
Les cercles passant par M et N coupent le grand cercle en des points qui sont les sommets du pentagone cherché.
Note: j'avais communiqué cette méthode à Mme Eveillau qui l'a mise sur son site Mathémagique avec une animation.
Je ne suis pas du tout sur que ce soit la méthode des compagnons au moyen age
Tu as des sources fiables (des écrits qui datent du moyen age, des tracés comme ça sur la pierre ?)
ils devaient plutôt partir du nombre d'or... (avec une des nombreuses constructions du nombre d'or)
c'est la méthode qui part du décagone.
DM est le côté du décagone et DN le côté du décagone étoilé (une diagonale du décagone)
la construction utilise la propriété que la différence et la moyenne géométrique sont égales au rayon
(DN-DM = R et DM.DN = R²)
On peut aussi citer la construction approchée de Dürer (chercher sur Internet)
il n'est pas si facile que ça de prouver que cette construction de Dürer était fausse
et là oui, très certainement cette construction là a été utilisée réellement.
on trouve des constructions dans Les Eléments d'Euclide
c'est par exemple la proposition 11 du livre IV 
(mais utilise diverses autres propositions précédentes d'Euclide, en particulier la proposition IV.10)
Voici la suite qui donne l'aire des polygones.
considérons la figure complétée en mauve:
on a 
=/n n étant le nombre de côtés du polygone
VW = R sin(/n) et WO = R cos (/n)
donc l'aire du polygone = n * VW * WO soit A = n*R2/2* sin(2/n)
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