salut mathafou

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j'avais donné un cas particulier de ton sujet ici : JFF : rapport d'aire

certes, (je n'avais pas vu)
mais bon, tout le monde y avait sans doute fait le calcul, mais personne n'en avait donné la démonstration
(à part celle faite par un esclave en silicium)

Bonjour,
J'ai un doute...

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On pense à la quadrature de la parabole d'Archimède
P=4/3 T.
Ici  P=4/3 T1 (vert)
Il semble * T2 (triangle ABC)=3T1
aire cherchée (bleue] ) T2-P --->4/9 T2

Pas calculé  ...

bonjour dpi,

tu t'es sans doute un peu mélangé les pinceaux
(superposition de diverses aires rendant le calcul cryptique)

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en partant (= en admettant) le résultat d'Archimède, celui ci énonce que



et à partir de ça on obtient bien le résultat attendu ici.

Bonjour,
cette question ne semble pas passionner les foules ...

des pistes de méthode, au choix :

1) le calcul "bourrin", niveau Terminale (*) :
équation de tangentes, intersections, calcul d'intégrales
ça marche très bien, sans complications démesurées.
(* Terminale actuelle, Cf Etude de la position relative entre une courbe et une droite qui est ce qui m'a incité à cet exercice-ci)

2) un calcul simplifié utilisant les propriété géométriques des tangentes à une parabole (Cf d'anciens livres de maths sur les coniques)

3) idem mais sans calcul (enfin si, juste des proportions !) et un résultat connu d'Archimède sur l'aire d'un segment de parabole (cf dpi et Internet)


segment de parabole

j'avoue que je ne connaissais pas ce résultat d'Archimède,
mais comme dit dans la discussion pointée par carpediem :

Citation :
- avec ce que l'on sait la réponse est quasi immédiate ...
- mais tout le monde sait-il ce que l'on sait ?

Bonjour,
Comme il pleuvait j'ai pu vérifier sur un exemple simple *.

*chiffre approchés ...

remarque que avec ton calcul de proportions le 16-05-24 à 16:45 tu y étais presque, à la preuve exacte !
(une erreur sur quelle surface est quoi ou sur une simplification de différence de fractions ?? bref juste des erreurs d'inattention)

Bonjour,
la démonstration niveau Terminale ne demande pas beaucoup de calculs.

Pour calculer l'aire entre la courbe et la droite AB (d'équation ) on utilise le fait que s'annule en a et b, donc .
Une IPP donne rapidement :

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.

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.

oui.

il faut quelques astuces / habitude des calculs pour voir certaines des simplifications utilisées ici !

En résumé...
Dans ma figure  du 17 à 18 h 01
Une sécante à une parabole aux points A et B et les deux tangentes
aux mêmes points  se rejoignant au point C déterminent deux
triangles le premier avec le point S sommet de la parabole soit ABS
et le second ABC;  tels que l'aire ABC =2 aires ABS.

c'est là où je ne suis pas d'accord : ce n'est pas le sommet de la parabole qu'il faut prendre !

ABC = 2 ABS est faux et aire jaune P = 4/3 de ABS aussi, Archimède ne dit pas ça !
Archimède dit ABP avec P le point de la parabole pour lequel l'aire de ABP est maximale



la hauteur issue de S dans ABS est < strictement à la hauteur issue de P de ABP,
c'est à dire le point de contact d'une tangente parallèle à AB

de façon générale l'aire de ABP avec P sur une courbe quelconque, avec AB donné est maximale / minimale lorsque P est un point de contact avec une tangente parallèle à AB
exemple avec un cercle, mais c'est général



(dans la cas de la parabole P du côté de l'infini est rejeté bien sur)