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calcul d'aires (intégrales)
Bonjour,
Calculez les aires des surfaces suivantes, après avoir réalisé les graphiques:
a)
surface comprise entre la droite d'équation x+y-3=0 et la parabole y=x²/2-1.
b) surface comprise entre les graphiques des fonctions f:x
x+1 et g:x
x3-3x²+4.
a) x+y-3=0 ==>y=3-x
Les coordonnées des points communs, solutions du système formé des 2 équations sont (-4,7) et (2,1).
La parabole(y=x²/2-1) étant en-dessous de la droite d'équation(y=3-x) dans l'intervalle ]-4,2[ On a:
2-4[ (x²/2-1)-3-x)dx
2-4 (x²/2-4+x)dx
2-4 x²/2 dx+2-4 -4 dx +2-4 x dx
Est-ce juste jusqu'ici?
Mamie
Exercice b) surface comprise entre les graphiques des fonctions f:xx+1 et g:xx3-3x²+4.
la fonction g:x x3-3x²+4 est du 3e degré
calcul de g'(x) = (x3-3x² +4)' = 3x² -6x
on a donc:
[
| x | 0 | 2 | ||||
| g'(x) | + | 0 | - | 0 | ||
| g(x) | croissant | max 4 | décroissant | min 0 | croissant |
la fonction f:x
x+1 est du 1er degré. son graphique est une droite comprenant les points (1,2) et (2,3)
recherchons les points communs aux 2 graphiques, leurs coordonnées sont solutions du système.
y=x+1
y= x3-3x² +4
les deux graphiques ont 3 points communs de coordonnées (-1,0), (1,2) et (3,4)
21[(x3-3x²+4) - (x+1) dx ]+ 32[(x+1)-(x3-3x² +4)] dx
Est-ce juste?
Les bornes ne sont pas correctes. La première intégrale est à prendre de -1 à +1, et la seconde de +1 à +3.
On verra plus tard qu'il suffit de calculer l'une des 2 intégrales puis de multiplier le résultat par 2 pour obtenir l'aire cherchée
salut
une petite remarque sur les graphiques :
1/ tout d'abord les calculatrices graphiques ou grapheur (type ggb, SQN) permettent de voir la situation
2/ mais surtout : autant pour une courbe non droite je prends un max de points autant pour une (courbe) droite deux points suffisent !
3/ pour ma part je prends toujours trois points, le troisième faisant office de contrôle (comme la preuve par neuf qui ne peut pas prouver que j'ai raison mais prouve toujours que j'ai tort 
) car :
deux points sont toujours alignés (puisqu'ils sont l'un en face de l'autre 
)
trois points ne le sont pas toujours ... sauf s'ils appartiennent à la même droite)
ainsi pour ton deuxième graphique autant 7 points pour la droite c'est beaucoup trop autant 4 points pour la courbes de la cubique c'est insuffisant ... même si dans le cas présent un schéma est suffisant pour avoir une vue d'ensemble de la situation ...
PS : un point se représente par une croix (car c'est l'intersection de deux droites (deux courbes de dimension 1 plus précisément))
Merci carpediem pour ces explications.
En ce qui concerne l'exercice précédent:
La surface hachurée vaut 8 unités d'aire
8 unités d'aire est le bon résultat, oui. 
En complément.
Soit O' le point de coordonnées (1 , 2).
On montre facilement que ce point est centre de symétrie de la figure.
Il suffit donc de calculer l'une des deux intégrales et de multiplier par 2
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