Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Licence-pas de math
Partager :

Calcul d'annuités

Posté par
Antury
30-11-21 à 18:25

Bonjour!
Je bloque sur un annale de maths fi, j'aurai bien besoin de votre aide!

Vous souhaitez accumuler 150 000€ pour acheter une petite maison.
A) On vous propose un placement à 6%. Vous décidez d'y faire des versements réguliers et constants de 2 000€ à la fin de chaque mois, sauf le dernier qui est d'un montant supérieur. Au total, combien de versements devriez vous effectuer? Quel serait le montant du dernier versement?

B) Au bout de deux ans de ces versements, ayant décidé de travailler à mi-temps, vous ne pouvez plus vous permettre que d'effectuer des versements mensuels, toujours réguliers et constants, de 1 000€. Dans ces conditions, dans combien de temps, au minimum, pourrez-vous acquérir votre maison (le taux est toujours de 6%)?

C) Après avoir accumulé ces 150 000€, vous changez d'avis sur leur utilisation et vous décidez de les déposer immédiatement dans un placement à 5,2% vous permettant d'effectuer ensuite 416 retraits hebdomadaires. Tous les retraits sont d'un montant constant. Le premier retrait intervient au moment du dépôt des 150 000€ à l'ouverture du placement. Quel est le montant des retraits ?

Pour la A, normalement j'ai pas eu de problèmes particuliers, je vous laisse quand même mes résultats :

im = (1,06)1/12 0,00487

Vn = 150 000 = 2 000*((1,00487n-1) / 0,00487)
n = (log[((150 000*0,00487)/2 000)+1) / log(1,00487)]
n 64,08

64 versements à effectuer, le dernier étant :
150 000 = 2 000 * ((1,0048764)-1 / 0,00487) + x
150 000 = 149 767,9 + x
x = 232,1
Donc 64e versement = 2 000 + 232,1 = 2 232,1€

Question B j'ai vraiment du mal par contre, en m'aidant d'un exercice que j'avais déjà fait je suis arrivé à une équation mais après je bloque :

150 000 = 2 000 * ((1,0048724-1) / 0,00487) * 1,00487n-24 + 1 000 * ((1,00487n-24-1) / 0,00487)

J'explique mon raisonnement au cas où j'ai écrit une dinguerie ahah.
2 000 * ((1,0048724-1) / 0,00487) : jusqu'ici je pense que ça va, on calcule le montant capitalisé après les deux premières années.
* 1,00487n-24 : je continue à capitaliser ce montant jusqu'à n, moins les 24 mois que j'ai déjà compté.
+ 1 000 * ((1,00487n-24-1) / 0,00487) : j'y ajoute les versements de 1 000€ jusqu'à n, moins les 24 premiers mois.

J'ai l'impression de m'être compliqué la vie et qu'il y a une façon beaucoup plus simple de résoudre ça mais je passe complétement à côté.

Au plaisir de vous lire!

Posté par
macontribution
re : Calcul d'annuités 01-12-21 à 11:17

Bonjour Antury

Question A

Je trouve un résultat proche du votre résultat en utilisant le taux d'intérêt mensuel  de   0,00486755   pour 1.

Question B

Votre raisonnement, à savoir :

a) capital acquis de 24 versements de 2 000 euros au bout de 24 mois qui rapporte, ensuite  des intérêts pendant les  "x" mois suivants

b) capital acquis par "x" versements de 1 000 euros

c) la somme des a) et b) ci-dessus donne le capital global de 150 000 euros

Ce raisonnement donne la solution de ce problème...... les calculs sont à terminer.

Posté par
Antury
re : Calcul d'annuités 01-12-21 à 17:29

Bonjour macontribution,

Justement je bloquais un peu sur la résolution de l'équation quand j'ai essayé, j'ai un peu de mal avec ça en général.

150 000=2000\times \frac{1,00487^{24}-1}{0,00487}\times 1,00487^n+1000\times \frac{1,00487^n-1}{0,00487}
150 000=50786,75\times 1,00487^n+1000\times \frac{1,00487^n-1}{0,00487}

Je sens bien que c'est pas l'équation la plus compliquée au monde, mais après avoir calculé la première partie je bloque complètement sur quoi faire ensuite pour la résoudre.

Posté par
macontribution
re : Calcul d'annuités 02-12-21 à 14:11


Vous avez écrit :


https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?150%20000=50786,75\times%201,00487^n+1000\times%20\frac{1,00487^n-1}{0,00487}


Personnellement je présente cette équation de la façon suivante, conseillée par un excellent professeur
(au début des années 1960) :
150 000,00     =   { 50 786,75   * 1,00487   ⁿ    }  +   { 1 000,00     [ ( 1,00487   ⁿ    - 1  )   / 0,00487   ]  }

A cette époque pas de calculatrice mais du papier, un crayon, une gomme, des tables financières, les tables de logarithmes….et du courage.

On devait faire les calculs  les plus simples en premier  :

1)        { 50 786,75   * 1,00487   ⁿ    }  
aucune simplification à faire

2)      { 1 000,00     [ ( 1,00487   ⁿ    - 1  )   / 0,00487   ]  }

On peut simplifier de la façon suivante

2-a)  On a :

1 000,00   / 0,00487  
le résultat : 205 338,80903  

et le 2) devient : 205 338,80903      ( 1,00487   ⁿ    - 1  )  

2-b) Effectuons le produit par 205 338,80903  

Et on obtient :   {  ( 205 338,80903   * 1,00487   ⁿ    )   -205 338,80903   }

3) L'équation à résoudre devient :

150 000,00     =   { 50 786,75   * 1,00487   ⁿ    }  +   {  ( 205 338,80903   * 1,00487   ⁿ    )   -205 338,80903   }

Je vous laisse continuer et répondre à la question

Posté par
Antury
re : Calcul d'annuités 02-12-21 à 19:06

Ah merci, j'ai réussi à la résoudre du coup :

150 000=50786,75\times 1,00487^n+1000\times \frac{1,00487^n-1}{0,00487}

150000=50786,75\times 1,00487^n+205338,81\times (1,00487^n-1)
150000=50786,75\times 1,00487^n+205338,81\times1,00487^n-205338,81
355388,81=50786,75\times 1,00487^n+205338,81\times1,00487^n
355388,81=1,00487^n\times (50786,75+205338,81)
355388,81=1,00487^n\times 256125,56
1,38736=1,00487^n
n=\log (1,38736)/\log (1,00487)=67,39

Donc il faudrait au minimum 68 versements de 1000€ soit 68+24=92 mois au total afin d'acquérir la maison.

Question 3 je pense avoir trouvé, mais je suis pas tout à fait sûr non plus.
Première fois que je vois des versements hebdomadaires dans un exercice, donc pour le taux j'ai :
ih = (1,0052)1/52 = 0,000975

J'ai fait : a=(150000-a)\times\frac {0,000975}{1-1,000975^{-415}}
Donc je suis pas tout à fait sûr concernant deux points donc je vais expliquer ma formule.
(150 000 - a) parce que le premier versement se passe directement à l'ouverture du placement.
Et le puissance -415, du coup j'ai enlevé un retrait, celui du début.

En résolvant l'équation, j'ai trouvé a 438,38.
Donc le montant des retraits sera de 438,38€. Est-ce que c'est bien ça?

Posté par
macontribution
re : Calcul d'annuités 03-12-21 à 19:20

Question B

Je trouve :

4) On fait appel à la notion des logarithmes

log 1,38736177 =  n log 1,00487

0,142189723 =  n   * 0,002109881

n  = 0,142189723 / 0,002109881
n = 67,39230387 arrondis à  68 versements le dernier étant inférieur à 1000 euros

5) La solution de la question

Il y a 68 + 24 = 92 versements mensuels

QUESTION C

Le taux hebdomadaire équivalent est de  0,000975 pour 1.

Après vérification de votre méthode exposée, le montant du versement hebdomadaire est de :   438,3776182   euros arrondi à la somme de 438.38 euros.

Pour lé résolution de ce type de problème j'avais une autre méthode de calcul, qui après calculs, donne le résultat suivant :
versement hebdomadaire est de  438,3776182   euros.

Les deux solutions sont identiques.

VOTRE SOLUTION EST EXACTE.

Je vous exposerai  ma solution quand je l'aurai bien rédigée, pour l'instant  je "récupère" gentiment (rien de grave heureusement) à la suite de la troisième vaccination covid 19.

A bientôt

Posté par
macontribution
re : Calcul d'annuités 04-12-21 à 16:23


QUESTION C

1) LA  FORMULE A APPLIQUER

V(ₒ)  = a  *  {   [  1 - (1+i) ⁻ⁿ  ]  /   i  }  /  { 1 + i  }

V(ₒ) = valeur à l'origine = valeur actuelle  
a = montant de l'annuité = montant du versement périodique
n = nombre de versement
i = taux périodique

2) APLICATION NUMERIQUE

Dans la présente question à résoudre on a :

V(ₒ) = valeur à l'origine = valeur actuelle  = 150 000,00  
a = montant de l'annuité = montant du versement périodique = à calculer
n = nombre de versement périodiques = 416  
i = taux périodique = 0,000975
( 1 + i ) = 1,000975

La formule devient :

150 000,00   =   a  {   [   1  - 1,000975 ⁻⁴¹⁶  ]   /   0,000975 }  /   1,000975

150 000,00   =   a  {   [   1  - 0,666708474   ]   /   0,000975 }  /   1,000975

150 000,00   =   a  {   [ 0,333291526   ]   /   0,000975 }  /   1,000975

150 000,00   = a  * { 341,8374621 / 1,000975

150 000,00   =   a  * 342,1707536  

  a  = 150 000,00     / 342,1707536  

a = 438,3776182  

3) LA SOLUTION DE LA QUESTION

Le montant de chacun  des 416 retraits hebdomadaires de début de période s'élève à  438,3776182   euros que je vous laisse arrondir.

4) LA VERIFICATION DE LA SOLUTION

J'ai établi le "juge de paix", à savoir le TABLEAU DE PLACEMENT comportant 416  retraits.

Je donne la première ligne et la dernière ligne de ce tableau :

SEMAINE  : 1
Capital au début de la semaine : 150 000,0000000
Retrait en début de semaine : 438,3776182  
Base calcul des intérêts 149 561,6223818
Taux d'intérêt hebdomadaire 0,000975 pour une unité monétaire
Montant des intérêts 145,82258182  
Capital acquis en fin de semaine 149 707,44496363  

SEMAINE  : 416
Capital au début de la semaine : 438,3776144
Retrait en début de semaine : 438,3776182  
Base calcul des intérêts -0,0000038
Taux d'intérêt hebdomadaire 0,000975 pour une unité monétaire
Montant des intérêts -0,00000000  
Capital acquis en fin de semaine -0,00000379  

Le tableau de placement fait apparaître, à la fin, une différence de -0,00000379   euros et peut être considéré comme exact et permet de vérifier la solution proposée pour ce problème.

II - COMMENTAIRES ENTRE VOTRE PROPOSITION DE REPONSE ET MA REPONSE

Dans mes lointain es études financières j'avais retenu que la différence entre :
* la méthode dite de "FIN DE PERIODE"
et
* la méthode dite de "DEBUT de PERIODE"
la différence était  égale :
* soit à (1 +i)
* soit à  1/ (1+i)

J'ai dû faire quelques exercices scolaires mais au cours de mon activité professionnelle je n'ai jamais rencontré un tel problème.
Il en est de même pour des calculs avec des versements hebdomadaires, système utilisé, je crois aux USA et au Canada.

Mais en mathématiques financières trouver deux méthodes de calcul qui donne le même résultat avec 7 décimales, on peut dire, sans risque  d'erreur, qu'il s'agit de la même méthode de calcul avec une variante de présentation….comme en matière de covid 19

J'ai dû rechercher  dans mes bibliothèques un vieux livre de mathématiques financières destiné aux collèges techniques qui préparaient le BEC 2, le BP Comptabilité, le Préliminaire Expertise Comptable, livre que j'ai toujours conservé au cours de mon activité professionnelle.
(Livre des éditeurs MASSON, dépôt légal 1er trimestre 1962.)

J'ai pu retrouvé, page 16 , LA COMPARAISON ENTRE LES ANNUITES DE CAPITALISATION et les ANNUITES DE PLACEMENT

La relation liant ces deux sortes d'annuités est la suivante :

LA VALEUR DEFINITIVE de "n" ANNUITES DE PLACEMENT ( annuités de début de période) EST EGALE A LA VALEUR DEFINITIVE de (n+1) ANNUITES DE FIN  DE PERIODE,   " D I M I N U E E  de la VALEUR d'une ANNUITE.

Dans cette relation il est question de VALEURS  DEFINITIVES, c'est-à-dire de valeurs acquises, mais une relation existe qui s'applique aussi aux valeurs actuelles.

C'est cette relation que vous avez appliquée.

Posté par
Antury
re : Calcul d'annuités 04-12-21 à 17:28

Merci beaucoup pour la réponse détaillée, je comprends mieux.

Pour être honnête, même si mon résultat est juste je trouve mon raisonnement mauvais puisque jusqu'ici, j'assumais que dans la formule le retrait de la 1ère annuité intervenait à la 1ère semaine (pour reprendre l'exemple de l'exercice) et non pas au moment du placement. Donc petit problème de compréhension de ma part, finalement je me suis plutôt compliqué la vie, il n'y avait qu'à appliquer la formule de base.

D'ailleurs je ne sais pas vraiment pourquoi j'assumais ça alors que dans la formule de la question A par exemple, je sais que les versements interviennent dès l'ouverture.

Du coup, j'ai une dernière petite question :

Si on a le même problème qu'en question C), mais que cette fois-ci le premier retrait se déroule une semaine après l'ouverture par exemple.
Est-ce qu'il suffit de capitaliser la somme (dans ce cas : 400000 * 1,0009751) et d'ensuite d'appliquer la formule a = V * .... ?

Posté par
macontribution
re : Calcul d'annuités 05-12-21 à 17:47

bonjour

Votre nouvelle question

1) Si on a le même problème qu'en question C), à savoir :

C) Après avoir accumulé ces 150 000€, vous changez d'avis sur leur utilisation et vous décidez de les déposer immédiatement dans un placement à 5,2%
vous permettant d'effectuer ensuite 416 retraits hebdomadaires. Tous les retraits sont d'un montant constant.
Le premier retrait intervient au moment du dépôt des 150 000€ à l'ouverture du placement. Quel est le montant des retraits ?

2) mais en changeant

mais que cette fois-ci le premier retrait se déroule une semaine après l'ouverture par exemple.


Nous avons à résoudre le problème suivant :

C) Après avoir accumulé ces 150 000€, vous changez d'avis sur leur utilisation et vous décidez de les déposer immédiatement dans un placement à 5,2%
vous permettant d'effectuer ensuite 416 retraits hebdomadaires. Tous les retraits sont d'un montant constant.
Le premier retrait intervient à la fin de la semaine du dépôt des 150 000€ versés à l'ouverture du placement. Quel est le montant des retraits ?

La solution que je propose pour ce problème est la suivante.

I - ANALYSE DES ELEMENTS FOURNIS PAR l'ENONCE

1) Il s'agit de placement financiers la méthode de calcul des intérêts à utiliser  est la méthode dite des intérêts composés.

2° Les retraits ont lieu en fin de période, il faut appliquer la méthode de calcul d'une suite d'annuités constantes de FIN DE PERIODE.

II) LA  FORMULE A APPLIQUER

V(ₒ)  = a  *  {   [  1 - (1+i) ⁻ⁿ  ]  

V(ₒ) = valeur à l'origine = valeur actuelle  
a = montant de l'annuité = montant du versement périodique de fin de période
n = nombre de versement
i = taux périodique

III) APLICATION NUMERIQUE

Dans la présente question à résoudre on a :

V(ₒ) = valeur à l'origine = valeur actuelle  =  150 000,00  
a = montant de l'annuité = montant du versement périodique de fin de période = à calculer
n = nombre de versement périodiques = 416  
i = taux périodique = 0,000975
( 1 + i ) = 1,000975

La formule devient :

Je vous laisse terminer

IV) LA SOLUTION DE LA QUESTION

Le montant de chacun  des 416 retraits hebdomadaires de FIN DE PERIODE de s'élève à ……………………………. euros que je vous laisse arrondir.

V) LA VERIFICATION DE LA SOLUTION

Il faut confectionner le "juge de paix", à savoir le TABLEAU DE PLACEMENT comportant 416  retraits.
(oui, je sais, le tableau comporte beaucoup de lignes….)

La première ligne et la dernière ligne de ce tableau  doivent se présenter de la façon suivante :

SEMAINE  : 1
Capital au début de la semaine : 150 000,0000000
Base calcul des intérêts 150 000,0000000
Taux d'intérêt hebdomadaire 0,000975 pour une unité monétaire
Montant des intérêts 146,25000000  
Total 150 146,25000000  
1er retrait à inscrire en moins
Capital acquis en fin de semaine à calculer

SEMAINE  : 416
Capital au début de la semaine : à faire
Base calcul des intérêts à faire
Taux d'intérêt hebdomadaire 0,0009750 pour une unité monétaire
Montant des intérêts à calculer
Total à faire
Dernier et 416 ème retrait à faire
Capital acquis en fin de semaine en théorie : zéro



Le tableau de financement fait apparaître, à la fin, une différence de………. à  calculer….. euro
peut être considéré comme exact et permet de vérifier la solution proposée pour ce problème.

NB : C'est la seule méthode de calcul que je connais.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !