Pour la 1ère il semble naturel de faire un changement de variable
u=ex.
on alors (en diffréenciant) : du=ex.dx=u.dx donc dx=(1/u)du
quand x vaut 0 (borne inf) u vaut 1
quand x veut 1 (borne sup)  u vaut e
Avec ca on a tout ! l'intégrale devient:
int (de 1 à e) de (u-1)/(u+1)(1/u) du

astuce: (u-1)/[u(u+1)] = [A/u]+[B/(1+u)]
on trouve que A = -1 et B = 2
d'ou  
int (de 1 à e) de (u-1)/(u+1)(1/u) du = int (de 1 à e) de [-1/u + 2/(1+u)]du
on connait les primitives:
=-ln(u)+2ln(1+u) entre 1 et e:
-1+2ln(1+e)-2ln(2)
qu'on peut simplifier si on veut !!

J'ai oublié le "sauf erreurs de calcul" traditionnel...
A toi de verifier.
A+

En voila déjà 2:

Dans une de tes questions précédentes,

On a montré que : S (e^x -1)/(e^x +1) dx = -x + 2.ln(1+e^x) + C

On a donc

S(de 0 à 1) [(e^x -1)/(e^x +1)] dx = -1 + 2.ln(1+e) + 0 - 2.ln(1 + 1)
= -1 + 2.ln(1+e) - 2.ln(2) = -1 + 2.ln((1+e)/2)
----------

S [e^(-2t) . cos(2t)] dt
0 à Pi/8

Intégration par parties:
Poser e^(-2t) = u  ->  -2.e^(-2t) dt = du
et poser cos(2t) dt = dv   -> v = (1/2).sin(2t)

S [e^(-2t) . cos(2t) dt] = (1/2). e^(-2t) sin(2t) + S [e^(-2t) sin(2t)]
dt      (1)

On cherche:
S [e^(-2t) sin(2t)]

Intégration par parties:
Poser e^(-2t) = u  ->  -2.e^(-2t) dt = du
et poser sin(2t) dt = dv   -> v = -(1/2).cos(2t)

S [e^(-2t) sin(2t)] = -(1/2). e^(-2t) cos(2t) - S [e^(-2t) cos(2t)]
dt    (2)

On remet (2) dans (1) ->
S [e^(-2t) . cos(2t) dt] = (1/2). e^(-2t) sin(2t) - (1/2). e^(-2t)
cos(2t) - S [e^(-2t) cos(2t)] dt

2 .S [e^(-2t) . cos(2t) dt] = (1/2). e^(-2t) sin(2t) - (1/2). e^(-2t)
cos(2t)
S [e^(-2t) . cos(2t) dt] = (1/4). e^(-2t) sin(2t) - (1/4). e^(-2t)
cos(2t) + C
S [e^(-2t) . cos(2t) dt] = (1/4). e^(-2t) [sin(2t) - cos(2t)] + C

S(de 0 à Pi/8) [e^(-2t) . cos(2t) dt] = (1/4). e^(-Pi/4) [sin(Pi/4) -
cos(Pi/4)] - (1/4). e^(0) [sin(0) - cos(0)]


S (de 0 à Pi/8) [e^(-2t) . cos(2t) dt] =  0 - (1/4)*(-1) = 1/4
----------
Sauf distraction.    

cos(2t) est la partie réelle de e(2it)
donc l'intégrale cherchée est la partie réelle de int(de 0 àpi/8)
de e(-2t)e(2it)
calculons déjà cette intérale:
int(de 0 àpi/8) de e(-2t)e(2it)
=int(de 0 àpi/8) de e((-2+2i)t)
=[e(-2+2i)t)/(-2+2i)] entre 0 et pi/8
=[e(-1+i)pi/4-1]/(-2+2i)
=[e(-pi/4)(1+i)rac(2)/2-1]/(-2+2i)
=[e(-pi/4)(1+i)rac(2)/2-1](-2-2i)/(8)

on prend la partie réelle:
-2/8(e(-pi/4)rac(2)/2-1)+2/8e(-pi/4)rac(2)/2=1/4

là, il faut vraiment verifier mes calculs....!!!

Un autre:

S [ln(1+t) /t²] dt

Par parties:
Poser ln(1+t) = u   ->  dt/(1+t) = du
et poser dt /t² = dv   -> v = -1/t

S [ln(1+t) /t²] dt = (-1/t)*ln(1+t) + S [1/t(1+t)] dt    (1)

1/t(1+t)] = A/t + B/(1+t)
1/t(1+t)] = [(A+B)t + A]/(t (1+t))

On identifie les 2 membres ->
A+B = 0
A = 1

-> A = 1 et B = -1

S [1/t(1+t)] dt = S dt/t - S dt(1+t) = ln|t| - ln|1+t|

Remis dans (1) ->
S [ln(1+t) /t²] dt = (-1/t)*ln(1+t) + ln|t| - ln|1+t|

S(de 1 à 2) [ln(1+t) /t²] dt = (-1/2)*ln(3) + ln(2) - ln(3) + (1/1)*ln(2)
- ln(1) + ln(2)

S(de 1 à 2) [ln(1+t) /t²] dt = (-3/2)*ln(3) + 3.ln(2)
----------
Sauf distraction    

Le dernier.

S [(x^4+1)/(x^6+1)] dx

Classique mais ennuyeux.

Après 1 page de calcul, on trouve:  (avec V pour racine carrée).

(x^4+1)/(x^6+1) = (2/3)/(x²+1) + (1/6).(1/((x-(V3)/2)²+0,25) +  (1/6).(1/((x+(V3)/2)²+0,25)

a)
S dx/(x²+1) = arctg(x)

b)
S [1/((x-(V3)/2)²+0,25)] dx
poser x - (V3)/2 = 0,5.t
dx = 0,5 dt
1/((x-(V3)/2)²+0,25)] dx = [2/(t²+1)] dt

S [1/((x-(V3)/2)²+0,25)] dx = 2. arctg(2x - V3)

c)
Pareillement
S [1/((x+(V3)/2)²+0,25)] dx = 2. arctg(2x + V3)
-----
Et donc:
S [(x^4+1)/(x^6+1)] dx = (2/3) arctg(x) + (1/3) arctg(2x - V3) + (1/3)
arctg(2x + V3)

S(de 0 à 1) [(x^4+1)/(x^6+1)] dx = -(2/3) arctg(0) - (1/3) arctg(- V3)
- (1/3) arctg(V3) + (2/3) arctg(1) + (1/3) arctg(2 - V3) + (1/3)
arctg(2 + V3)
S(de 0 à 1) [(x^4+1)/(x^6+1)] dx =  (2/3) arctg(1) + (1/3) arctg(2 - V3)
+ (1/3) arctg(2 + V3)
S(de 0 à 1) [(x^4+1)/(x^6+1)] dx =  (2/3).(Pi/4) + (1/3).(Pi/12) + (1/3).(5Pi/12)
S(de 0 à 1) [(x^4+1)/(x^6+1)] dx =  Pi/6 + Pi/36 + 5Pi/36
S(de 0 à 1) [(x^4+1)/(x^6+1)] dx = 12Pi/36 = Pi/3
-----
Sauf distraction.    

j essaye de faire ca e mon cote et je regarde par rapport a vos reponses....si
pb  je reviens....

merci encore