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Calcul d'intégrale

Posté par
Flubber 21-04-18 à 19:36

Bonjour!
Je bloque sur un exercice et aimerais avoir votre aide si possible
Alors voilà, dans cet exercice je bloque totalement à la question 3) mais comme les questions 1) et 2) étaient liées il y a probablement un lien avec la 3) sur laquelle je bloque donc je vous écris tout:
1) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout u différent de 1/2, \frac{u^{2}-1}{2u-1}=au+b+\frac{c}{2u-1}
Pour cette question-ci j'ai trouvé a=1/2, b=1/4, c=-3/4
2) Calculer \int_{-1}^{0}{\frac{x^{2}-1}{2x-1}}dx
Alors là j'ai trouvé comme primitive \frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4}x-\frac{3}{8}ln(|8x-4|) ce qui donne pour résultat final \frac{3}{8}ln(3)

Et enfin la question sur laquelle je suis bloquée:
3) Calculer\int_{-\frac{\pi }{6}}^{0}{\frac{cos^{3}x}{1-2sin x}}dx. On pourra remarquer que {cos^{3}x}=cos x*{cos^{2}x}
Alors j'ai passé deux heures à tenter plein de trucs mais je pense honnêtement que ça ne sert à rien de les réécrire parce que ça ne menait vraiment à rien, sauf peut être ça:
{\frac{cos^{3}x}{1-2sin x}}=\frac{-cos^{2}x*cos x}{2sin x - 1} parce qu'on se rapproche plus ou moins de la forme du 2) mais en continuant de se côté là je n'ai rien obtenu du tout donc ça se peut qu'en fait ça ne serve à rien mais je préférais le mettre au cas où.
Si vous avez des idées je suis preneuse, en tout cas merci beaucoup d'avoir pris le temps de me lire et merci d'avance pour votre aide : )
Bonne soirée

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 19:45

salut

il est triste de ne pas savoir que :

la dérivée de ku est ku'

donc

une primitive de ku est kU ou U est nue primitive de u

et enfin \dfrac c {2x - 1} = \dfrac c 2 \dfrac 2 {2u - 1}

mais c'est bon ...

2/ connais-tu les IPP ?

Posté par
LeHiboure : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 19:48

Bonjour,

En utilisant la remarque, cosxdx = dsinx, cos²x = 1-sin²x, pose sinx = t et tu arrives à intégrer (1-t²)/(1-2t) dt, ce qui se fait assez facilement

Posté par
Flubberre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 19:48

Euh... Non, je ne sais pas ce qu'est un IPP (en cherchant sur internet on trouve Inhibiteurs de la Pompe à Protons ou encore Incapacité Permanente Partielle mais je doute vraiment que ce soit ça)
Mais en tout cas merci d'avoir répondu

Posté par
Flubberre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 19:54

LeHibou @ 21-04-2018 à 19:48

Bonjour,

En utilisant la remarque, cosxdx = dsinx, cos²x = 1-sin²x, pose sinx = t et tu arrives à intégrer (1-t²)/(1-2t) dt, ce qui se fait assez facilement


Hum... Je ne suis pas vraiment sûre de comprendre votre réponse, premièremenent je ne comprend pas du tout le " cosxdx = dsinx" et ensuite pourquoi obtient on "(1-t²)/(1-2t) dt"? Au numérateur que fait on du cos x restant? Parce que le numérateur c'est cos x puissance 3 et non puissance 2...
Mais en tout cas merci beaucoup de votre réponse à vous aussi : )

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 19:58

alors après une IPP (intégration par parties) LeHibou te propose un CdV (changement de variable)

...

Posté par
Flubberre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 20:00

Hum... D'accord, mais encore? Parce que honnêtement je suis un peu perdue là...
Mais en tout cas merci à vous deux de prendre le temps de m'aider

Posté par
Flubberre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 20:24

?

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 20:26

en Term S il n'y a pas plus simple que ce qui t'a été proposé ...

poser u = sin x

Posté par
Flubberre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 20:38

C'est peut être ce qu'il y a de plus simple mais pour moi ça parait quand même presque impossible... C'est d'ailleurs la raison pour laquelle je demande de l'aide, mais bref.
Le soucis avec le fait de poser u=sin x c'est que j'avais déjà essayé après le message de LeHibou sauf que j'obtiens \frac{cos^{3}x}{1-2sin x}=\frac{-(1+sin^{2}x)*cos x}{2sin x - 1} et je ne sais pas quoi faire du cos x restant... Est ce que je pars du principe que cos x = 1-2sin^{2}(\frac{x}{2}) ? Est ce que je dis que cos x=\frac{sin 2x}{2sin x}? J'en fais quoi en fait?

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 20:52

u(x) = sin x => u'(x) = ...

Posté par
Flubberre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 20:57

carpediem @ 21-04-2018 à 20:52

u(x) = sin x => u'(x) = ...

u'(x)=cos x; sauf que là on était dans une forme non dérivée et que là vous intégrez de la dérivée donc je ne vois pas bien où vous voulez en venir puisque la raison pour laquelle on remplace (soit par u soit par t) est justement pour pouvoir dériver, et comme ce n'est pas une addition mais une multiplication on ne peut pas trouver séparément les primitives

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 21:04

par définition u'(x) = \dfrac {du} {dx} \iff d(u(x)) = u'(x) dx

u(x) = \sin x => u'(x) = \cos x => du = \cos x dx

\dfrac {\cos^3x} {1 - 2 \sin x} dx = \dfrac {u'(x) (1 - u^2(x))} {1 - 2u(x)} dx = \dfrac {1 - u^2}{1 - 2u} du

Posté par
Flubberre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 21:11

Merci pour votre réponse, en revanche je ne comprend pas pourquoi

carpediem @ 21-04-2018 à 21:04

\dfrac {u'(x) (1 - u^2(x))} {1 - 2u(x)} dx = \dfrac {1 - u^2}{1 - 2u} du

Que devient le u'(x)?

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 21:14

voir la deuxième ligne de mon msg précédent ...

Posté par
Flubberre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 21:16

Je ne la comprend pas

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 21:19

voir la première ligne du msg de 21h04

Posté par
Flubberre : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 22:31

Eh bien je ne la comprend pas non plus, enfin je comprend pourquoi les deux parties sont équivalente mais même si c'est "par définition"  je ne comprend quand même pas l'égalité de départ...

Posté par
alb12re : Calcul d'intégrale 21-04-18 à 22:57

salut,

\\ \dfrac{\cos x\times\cos^2 x}{1-2\sin x}=\dfrac{\cos x\times(3+1-4\sin^2 x)}{4(1-2\sin x)} \\

\\ \dfrac{\cos x\times\cos^2 x}{1-2\sin x}=\dfrac{3\cos x}{4(1-2\sin x)}+\dfrac14\cos x(1+2\sin x) \\

A finir

Posté par
alb12re : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 09:37

plus simple:
dans la primitive de la question 2/ tu remplaces x par sin(x) et tu as ta primitive pour le 3/

Posté par
lakere : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 09:49

Bonjour,

Exercice donné au BAC Académie Aix/Marseille en E 1986

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 10:02

ha ok !!

parce que j'avais pensé à cette manip ... que je trouvais bien (plus) compliquée que les deux méthodes précédentes (et même l'IPP me semble hasardeuse ... à voir) et qui impose de savoir "jongler" ... ce que ne savent plus faire nos élèves !!!

alb12 @ 22-04-2018 à 09:37

plus simple:
dans la primitive de la question 2/ tu remplaces x par sin(x) et tu as ta primitive pour le 3/
c'est ce que LeHibou proposait : le changement de variable

Posté par
alb12re : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 10:07

oui mais ici si j'ai bien compris il ne faut pas parler de changement de variable

Posté par
alb12re : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 10:28

Soit F une primitive de x->(x^2-1)/(2x-1)
Alors G:x->F(sin(x)) est une primitive de cos(x)^3/(1-2*sin(x)
En effet G'(x)=cos(x)*F'(sin(x))=cos(x)*(sin(x)^2-1)/(2*sin(x)-1)=etc

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 11:05

ben disons qu'on le fait sans le dire ...

et ton dernier msg le fait : écrire g(x) = f(u(x)) c'est faire un changement de variable !!!

Posté par
Flubberre : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 11:50

Merci à tous pour votre aide! Alors pour reprendre dans l'ordre:

alb12 @ 21-04-2018 à 22:57


\\ \dfrac{\cos x\times\cos^2 x}{1-2\sin x}=\dfrac{\cos x\times(3+1-4\sin^2 x)}{4(1-2\sin x)} \\

Comment obtenez vous cette égalité? Quand j'essaye de l'obtenir je trouve \frac{cos x*(2-2sin^{2}x)}{2(1-2sin x)} et non ce que vous avez trouvé...
Ensuite:
alb12 @ 22-04-2018 à 09:37

plus simple:
dans la primitive de la question 2/ tu remplaces x par sin(x) et tu as ta primitive pour le 3/

Ici le problème est que je me retrouve toujours avec un cos x au numérateur de trop et je ne sais pas quoi en faire...
lake @ 22-04-2018 à 09:49

Bonjour,

Exercice donné au BAC Académie Aix/Marseille en E 1986

Ou avez vous trouvé ce sujet? Je ne le trouve nul part...
alb12 @ 22-04-2018 à 10:28

Soit F une primitive de x->(x^2-1)/(2x-1)
Alors G:x->F(sin(x)) est une primitive de cos(x)^3/(1-2*sin(x)
En effet G'(x)=cos(x)*F'(sin(x))=cos(x)*(sin(x)^2-1)/(2*sin(x)-1)=etc

Alors ce que vous avez écrit me semble tout à fait logique mais en poursuivant le résonnement je retombe toujours sur mon point de départ; je ne vois pas comment continuer après ça...
En tout cas merci beaucoup à tous de votre aide et désoler de mettre autant de temps à comprendre...

Posté par
lakere : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 11:59

Une primitive de (F'\circ u).u' est F\circ u

Ici F(x)=\dfrac{x^2-1}{2x-1} et u(x)=\sin\,x

  

Citation :
Ou avez vous trouvé ce sujet? Je ne le trouve nul part...


Des vieilles annales ... En fait je l'ai trouvé dans deux documents. L'année 1986 et la section E sont bonnes. Mais il y a doute sur l'académie:

   Aix-Marseille pour l'un.

   Bordeaux pour l'autre.

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 12:01

à l'époque les sujets étaient académiques ... mais cela n'implique pas qu'ils soient tous différents d'une académie à l'autre ...

Posté par
lakere : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 12:02

Erreur:

  Ici F{\red '}(x)=\dfrac{x^2-1}{2x-1} et u(x)=\sin\,x

Posté par
lakere : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 12:03

Citation :
mais cela n'implique pas qu'ils soient tous différents d'une académie à l'autre ...


Ah! Je ne savais pas

Posté par
Flubberre : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 12:26

lake @ 22-04-2018 à 11:59

Une primitive de (F'\circ u).u' est F\circ u

Ici F(x)=\dfrac{x^2-1}{2x-1} et u(x)=\sin\,x

Merci beaucoup je vient de trouver! Je ne connaissais pas l'existence de cette formule mais elle arrange tout! La primitive que nous devons trouver est bien \frac{1}{4}sin^{2}x+\frac{1}{4}sin x-\frac{3}{8}ln(|8 sin x-4|)?

Posté par
Flubberre : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 12:34

Hum... En vérifiant sur ma calculatrice je trouve que le résultat que j'ai trouvé est faux... Savez vous où j'ai fais une erreur s'il vous plait?

Posté par
lakere : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 12:40

Il n'est pas faux: tu as trouvé une primitive.

le terme en -\dfrac{3}{8}\,\ln|8\,\sin\,x-4| ne diffère de -\dfrac{3}{8}\,\ln|2\,\sin\,x-1| que d'une constante.

Posté par
lakere : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 12:50

Mais c'est curieux que tu sois arrivé à un |8x-4| dans le log pour la question 2 alors qu'on tombe normalement sur un |2x-1|

  Bon, ça ne change rien mais c'est étonnant  

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 22-04-18 à 13:29

non ce n'est pas curieux et j'y ai répondu à 19h45 (mon premier post ...

tout simplement nos élèves font des choses sans savoir pourquoi : ainsi une fois c = 3/4 trouvé ils ne peuvent s'empêcher de développer (3/4)/(2x - 1) pour obtenir ce 8x - 4 comme des machines en pensant qu'ils font des math ...


la formule ( f o u)' = [f(u(x))]' = u'(x) f'(u(x)) est apprise en terminale

au moins dans les cas particuliers ln o u, exp o u et u^n

PS : la notion de composée et sa notation n'est plus au programme ... quelle tristesse ...

Posté par
lakere : Calcul d'intégrale 23-04-18 à 09:32

Je n'avais pas vu! Je viens de comprendre d'où vient ce |8x-4|

Posté par
Flubberre : Calcul d'intégrale 26-04-18 à 16:57

Excusez-moi du retard je n'avais plus d'accès à internet; je viens de voir vos messages donc c'est bon j'ai pu finir mon exercice. Merci beaucoup à lake, carpediem, alb12 et LeHibou pour votre aide et bonne journée : )

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 26-04-18 à 17:36

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