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Calcul d'intégrales

Posté par
NapoleonDuRoy 10-03-24 à 12:13

Bonjour,
Je vous écris au sujet d'un exercie qui me cause bien du souci...
Voici la question qui me bloque :
Fn = \sum{f(j)}\ pour \ j \ allant \ de \ 1 \ à \ n. \Avec\ f=ln.\ Il\ faut\ montrer\ que\ nln(n)-n+1\leq Fn\leq nln(n)\ -n \ + f(n) + 1 pour n >=2.


Des questions préliminaires demandaient de déterminer une primitive de f(x) = ln(x). Je pense donc qu'il faut l'utiliser (au lieu d'une récurrence que j'ai pas réussi à terminer)
La primitive que j'ai trouvée étant xln(x)-x je pense que le nln(n)-n vient de là. J'ai tenté d'encadrer 1/k par \int_{k-1}^{k}({1/t})dt \ et \ \int_{k}^{k+1}({1/t})dt
Mais je n'aboutis à rien...
Auriez-vous une piste svp ?
En vous remerciant

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrales 10-03-24 à 12:27

salut

tu veux encadrer F(n) = \sum_1^n \ln k

or \int_k^{k + 1} \ln k dt \le \int_k^{k + 1} \ln t dt \le \int_k^{k + 1} \ln (k + 1) dt

il suffit de sommer cette (double) inégalité pour k variant de 1 à n (ou n - 1) pour faire apparaitre F(n) ou F(n - 1) ou F(n + 1) ...

Posté par
NapoleonDuRoyre : Calcul d'intégrales 10-03-24 à 12:42

Merci !
Mais comment on prouve cette double inégalité ?

Posté par
NapoleonDuRoyre : Calcul d'intégrales 10-03-24 à 12:43

C'est trivial en fait...

Posté par
NapoleonDuRoyre : Calcul d'intégrales 10-03-24 à 13:06

J'ai bien réussi la question merci mais j'ai une question sur le calcul :
Quand on somme à droite de 1 à n-1 l'intégrale de k à k+1 des ln(k+1) dt, on sort ln(k+1) de l'intégrale puis on le somme pour faire apparaître Fn. Mais si on avait d'abord sommé l'intégrale, on aurait eu : intégrale de 1 à n des ln(k+1)dt donc on aurait obtenu nln(k+1) au lieu de Fn, alors que ce n'est pas la même chose. Comment ça se fait ?

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrales 10-03-24 à 14:06

\sum_1^{n - 1} \int_k^{k + 1} \ln k dt = \sum_1^{n - 1} \ln k

car \int_k^{k + 1} \ln k dt = \ln k \int_k^{k + 1}1dt = \ln k [t]_k^{k + 1} = \ln k

Posté par
NapoleonDuRoyre : Calcul d'intégrales 10-03-24 à 14:41

C'est bien ce que j'ai fait mais si on avait d'abord les intégrales sans sortir le ln(k) ?

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrales 10-03-24 à 17:20

je ne comprends pas ce que tu racontes

k est une variable muette qui disparait quand on fait les calculs !!


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