Niveau autre

calcul d intégrales par changement de variables...

Posté par mickachef (invité) 02-10-05 à 23:30

bonjour jai un calcul a faire mais je ny arrive pas ou plutot je naboutis pas à un résultat satisfaisant...
il s'agit de calculer pour k entier naturel
I(k)= intégrale(de 0 à 1) de (x^k*[(ln(x))^k]) dx

or on me propose de faire le changement de variable v = -(k+1)ln(x) dans
lintégrale (de E à 1) de (x^k*[(ln(x))^k]) dx
(avec 0 < E < 1)
j'ai alors décider de poser ce qui est d'apres moi équivalent: soit x =exp(v*(-1/(k+1))
et j'aboutis à

I(k)= [1/(k-1)] intégrale (de [-ln(E)(k+1)] à 0) de exp(-v)*[(-v/(k+1))]^k dv .

et la je narrive pas à trouver de primitive pour trouver la valeur de cette intégrale

please help me...
merci!

Posté par re : calcul d intégrales par changement de variables... 03-10-05 à 13:11

$\int_0^1\ x^k.(ln(x))^k\ dx$

Intégrale impropre mais convergente car lim(x-> 0+) [x^k.(ln(x))^k] = 0

Poser v = -(k+1).ln(x)

x = e^(-v/(k+1))
dx = (-1/(k+1)).e^(-v/(k+1)) dv

Si x -> 0+, v -> +oo
Si x -> 1, v -> 0

On a donc:
$\int_0^1\ x^k.(ln(x))^k\ dx = -\frac{1}{k+1}\int_{\infty}^0\ e^{-\frac{kv}{k+1}}.(\frac{-v}{k+1})^k.e^{-\frac{v}{k+1}}\ dv$

$\int_0^1\ x^k.(ln(x))^k\ dx = (-1)^k.(-\frac{1}{k+1})^{k+1}.\int_{\infty}^0\ e^{-v}.v^k\ dv$
-----
$\int\ e^{-v}.v^k\ dv$

Par parties.
Poser $e^{-v}\ dv = dt$ --> $-e^{-v}=t$
et poser $v^k = u$ --> $k.v^{k-1}\ dv = du$

$\int\ e^{-v}.v^k\ dv = -v^k.e^{-v} + k.\int\ e^{-v}.v^{k-1}\ dv$

$\int_{\infty}^0\ e^{-v}.v^k\ dv = [-v^k.e^{-v}]_{\infty}^0 + k.\int_{\infty}^0\ e^{-v}.v^{k-1}\ dv$

Or $[-v^k.e^{-v}]_{\infty}^0 = 0$ et donc:

$\int_{\infty}^0\ e^{-v}.v^k\ dv = k.\int_{\infty}^0\ e^{-v}.v^{k-1}\ dv$

On procédant par intégrations par parties successives, on obtient donc:

$4$ \int_{\infty}^0\ e^{-v}.v^k\ dv = k*(k-1)*(k-2)*\ ...\ *2*1 \int_{\infty}^0\ e^{-v}.v^{0}\ dv$

$4$ \int_{\infty}^0\ e^{-v}.v^k\ dv = k! \int_{\infty}^0\ e^{-v}\ dv$

$\int_{\infty}^0\ e^{-v}.v^k\ dv = k!$
---
On a donc finalement:

$4$ \int_0^1\ x^k.(ln(x))^k\ dx = (-1)^k.(-\frac{1}{k+1})^{k+1}.k!$

$4$ \int_0^1\ x^k.(ln(x))^k\ dx = k!\ .(\frac{-1}{k+1})^{k+1}$
-----
Sauf distraction.

Posté par re : calcul d intégrales par changement de variables... 03-10-05 à 13:16

Zut, à la dernière ligne lire:

$4$ \int_0^1\ x^k.(ln(x))^k\ dx = (-1)^k.k!\ .(\frac{-1}{k+1})^{k+1}$

Posté par mickachef (invité)*merci bcp 03-10-05 à 17:46

c bien ce ke jai trouvé jusqua lintégration par partie mais apres franchement je ne pensais pas quapres un changement de variable on aurait encore a faire une IPP!!
alala ... bete de moi!!
merci beaucoup!!!!!!!!!!!

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