En calculant les déterminants  d'ordre 1 , 2 , 3  il semble que pour tout n  ton déterminant soit de la forme u_nX + v_n .

Essaie une récurrence  pour voir .

Bonjourgauss7381.
Ma réponse ne convient certainement pour ton profil de "lycée-première" mais peut servir à d'autres.

Si désigne ta matrice, la dernière colonne est d'où

Le dernier déterminant est et le premier se calcule simplement en soustrayant la dernière ligne aux premières.

Bonjour
Le calcul est direct dans la mesure où l'on voit que
1.  le déterminant est un polynôme (notons le p) homogène de degré n en les variables a_1,...,a_n,x
2. Le degré de  a_i est au plus 1
3. Il est invariant par permutation des a_i
4. Le déterminant d'une matrice de taille au moins 2 et ne contenant que des x est nul.

On commence donc par calculer le facteur  de pour   p=0,...,n-2.
C'est le déterminant de la matrice de taille où  l'on a remplacé par 0. Il est donc nul.

Le facteur de    est donc x   et celui  de est 1.

D'où

salut

A = D + xJ

où D est la matrice diagonale contenant les coefficients a_i
et J la matrice ne contenant que des 1

soustraire la première colonne à toutes les autres ...
développer suivant cette colonne ...

A = D + xK

où K ne contient que des 1 sur la premières colonnes et des 0 ailleurs ...