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calcul d un integral

Posté par
aya4545 13-02-22 à 11:13

bonjour
merci de m aider a faire cet exercice
I=\int_{0}^{1}{\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx  avec un chagement de variable x=\frac{1-t}{1+t}calculer Iet en deduire J=\int_{0}^{1}{\frac{arctant}{t}dt}
I=\int_{0}^{1}{\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx=\int_{0}^{1}{\frac{\ln2-\ln(1+t)}{1+t^2}dt=\int_{0}^{1}{\frac{\ln2}{1+t^2}}dt-\int_{0}^{1}{\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}}dt=\frac{\pi}{4}\ln2-Idonc I=\frac{\pi}{8}\ln2
coincé dans la deduction de J  et merci

Posté par
aya4545re : calcul d un integral 13-02-22 à 11:18

je m excuse il ya une ereur de signe dans le calcul de I j ai oublié d inverser les bornes apres le changement de variable

Posté par
carpediemre : calcul d un integral 13-02-22 à 11:18

salut

faire une intégration par partie dans J en posant u(t) = arctan t et v'(t) = 1/t ... probablement ...

Posté par
aya4545re : calcul d un integral 13-02-22 à 11:54

merci carpediem j ai fait cette tentation  mais en vain je n ai rien trouvé

Posté par
larrechre : calcul d un integral 13-02-22 à 12:07

Bonjour,

Dans ta deuxième ligne, tu peux faire une IPP avec v=ln(1+t),  et u'=1/(1+t2)

Posté par
aya4545re : calcul d un integral 13-02-22 à 12:28

merci larrech
I=\int_{0}^{1}{\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{4}\ln2-\int_{0}^{1}{\frac{\arctan t}{1+t}dt je ne vois pas comment passer a\int_{0}^{1}{\frac{\arctan t}{t}

Posté par
larrechre : calcul d un integral 13-02-22 à 12:49

Effectivement, ça ne marche pas. Mais je subodore une erreur d'énoncé.

Posté par
carpediemre : calcul d un integral 13-02-22 à 13:15

effectivement ...

et je pense que le dénominateur dans J est 1 + t

le lien entre I et J est alors évident via l'IPP que je proposais ...


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