Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

calcul d une espérance !

Posté par Liloue (invité) 10-12-05 à 11:05

  Bonour à tous !
j'en appelle a vous pour le calcul d'un espérance, il va surement vous sembler trivial mais plus je le calcule, plus je trouve des résultats différents...c'est embetant !

la variable est défini comme suivant :
   ¤ pour ka
p(Y=K)=\frac{a^2}{n^2}

   ¤ pour K>a
p(Y=K)=\frac{a^2-n^2}{n^2}


et il me faudrait donc l'espérance de la variable Y... merci !

Posté par
franzre : calcul d une espérance ! 10-12-05 à 15:48

Bonjour,

Quel est l'ensemble des valeurs que peut prendre X?
Que désignent a et n ?
Où apparaît K dans les expressions de probabilité ?

Il est impossible de répondre à ton problème.

Posté par Liloue (invité)re : calcul d une espérance ! 10-12-05 à 20:12

alors en effet j'avais oublié l'ensemble qui est [[ 1 , n ]] n un entier naturel supérieur ou egal à 2.
a un entier naturel appartenant à [[ 1 , n ]]
et k n'apparait pas dans les expression de proba parce qu'elles ont été calculé a partir d'autre variable qui suivait des lois uniformes.
j'espère que ce coup ci c'est bon..

Posté par
franzre : calcul d une espérance ! 10-12-05 à 22:49

Il y a plusieurs soucis car

si k>a  ,        p(Y=k)<0

et de plus \sum_{k=1}^n p(Y=k)\neq 1

Posté par Liloue (invité)re : calcul d une espérance ! 11-12-05 à 09:00

en effet il y a une erreur..serait ce possible q'un modo rectifie ?
pour le 2eme cas il faut bien sur lire
P(Y=K)=\frac{n^2-a^2}{n^2}
je vous pris de bien vouloir m'en excuser...

Posté par
franzre : calcul d une espérance ! 11-12-05 à 13:19

Cette modification ne permet pas d'assurer \sum{k=1}^n p(X=k)=1

Il vaudrait mieux que tu dises comment tu parviens à une telle loi de probabilité.

Posté par Liloue (invité)re : calcul d une espérance ! 11-12-05 à 21:55

alors \sum_{i=1}^n P(Y=k)= \frac{a^2}{n^2}+\frac{n^2-a^2}{n^2}=1
on est d'accord ?
ensuite pour le calcul de l'espérance
\sum_{i=1}^n k P(Y=k)= \sum_{i=1}^a kP(Y=k)+ \sum_{i=a+1}^n k P(Y=k)= \sum_{i=1}^a k\frac{a^2}{n^2} + \sum_{i=a+1}^n k\frac{n^2-a^2}{n^2}
et c'est pour ce calcul là que je fais des erreurs appare^-amment, le reste est juste et vérifié...

Posté par Liloue (invité)re : calcul d une espérance ! 12-12-05 à 17:01

autre question, a quelle condition une espérance est maximale ?....

si vous avez reussi mon calcul je suis preneuse

Posté par
franzre : calcul d une espérance ! 12-12-05 à 20:39

\Bigsum_{i=1}^n P(Y=k)= \Bigsum_{i=1}^a P(Y=k)+ \Bigsum_{i=a+1}^n P(Y=k)= \Bigsum_{i=1}^a \frac{a^2}{n^2} + \Bigsum_{i=a+1}^n \frac{n^2-a^2}{n^2}=\Large a \frac{a^2}{n^2}+(n-a)\frac{n^2-a^2}{n^2}\neq 1

Posté par Liloue (invité)re : calcul d une espérance ! 12-12-05 à 21:28

bon je crois que nous avons un problème !!
voilà le problème en entier :
X1 et X2 2 variables aléatoires suivant une loi uniforme sur [[1,n]]

Y()=X1() si X2() a
       =X2() si X2>a

a un réel appartenant a [[1,n]]

1/ determinez la loi de Y
2/ calculez l'espérance de Y et la comparer a celle de X1
c/ pour quelle(s) valeur(s) de a cette espérance est maximale.

voilà, apparemment je suis obligée de tout recommencer vu que jai du faire de grosses erreurs...
merci a vous !

Posté par
franzre : calcul d une espérance ! 13-12-05 à 23:45

1/
J'imagine que X_1 et X_2 sont indépendantes

\red \bullet k\le a
2$p(Y=k)=p(X_2\le a\cap X_1=k)=p(X_2\le a).p( X_1=k)=\frac a n\,\frac 1 n = \Large \frac a {n^2}

\red \bullet k \gt a
2$p(Y=k)=p(\{X_2=k\}\cup\{X_2\le a\cap X_1=k\})=p(X_2=k)\,+\,p(X_2\le a).p( X_1=k)=\frac 1 n + \frac a n\,\frac 1 n = \Large \frac {n+a} {n^2}

Dans ce cas on a bien
2$ \Bigsum_{k=1}^n p(Y=k)=\Bigsum_{k=1}^a \frac a {n^2}\,+\,\Bigsum_{k=a+1}^n \frac{n+a} {n^2} = \frac {a^2}{n^2}+(n-a)\frac {n+a} {n^2}=1

Je te laisse faire la suite. Ce n'est pas trop difficile.
Tu dois arriver à
2/
2$E(Y)={\frac{-{a^2} + n + a\,n + {n^2}}{2\,n}} qui est maximale pour

3/
2$a=\frac n 2 si n est pair
2$a=\frac {n-1} 2 et  2$a=\frac {n+1} 2 si n est impair

Posté par Liloue (invité)re : calcul d une espérance ! 14-12-05 à 07:24

merci a toi franz !
désolé pour mes erreurs

après le problème se reproduit avec cette fois deux valeurs a et b (a>b)pris dans 1,n mais cette fois je vais essayer de le faire toute seule !!

Posté par Liloue (invité)re : calcul d une espérance ! 14-12-05 à 12:50

juste une question : ca ne change pas la probabilité P(X1=k) vu qu'on restreint a K>a et Ka ?

Posté par Liloue (invité)re : calcul d une espérance ! 14-12-05 à 14:03

j'ai aussi un problème pour le calcul de l'espérance :
\sum_{k=1}^n kP(Y=k)=\sum_{k=1}^a \frac{a}{n^2} + \sum_{k=a+1}^n \frac{n+a}{n^2}= \frac{a^2(a-1)}{2n^2} + \frac{(n-a)(n-a-1)(a+n)}{2n^2}
et j'ai donc des a^3 qui ne s'annulent pas..

Posté par
franzre : calcul d une espérance ! 14-12-05 à 17:50

Attention :
2$\Bigsum_{k=a+1}^n k \frac {n+a}{n^2}=\Bigsum_{k=1}^n k \frac {n+a}{n^2}-\Bigsum_{k=1}^a k \frac {n+a}{n^2} = \frac {n+a}{n^2}\[\frac {n(n+1)}2-\frac {a(a+1)}2\]=\Large \frac {(n+a)(n-a)(n+a-1)}{2n^2}

et dans ce cas les termes en a^3 s'annulent

Posté par Liloue (invité)re : calcul d une espérance ! 14-12-05 à 18:08

je viens de me rendre compte que j'ai oublié les K dans mon post précédent.
en tout cas je ne comprend pas, là aussi pour l'espérance il faut distinguer les cas k>a et K<a...
il me semble que tu n'a pris en compte que notre 2eme résultat dans ta première somme

Posté par Liloue (invité)re : calcul d une espérance ! 14-12-05 à 18:11

il manque \sum_{k=1}^a kP(Y=k)=\sum_{k=1}^a  \frac{a}{n^2}

Posté par
franzre : calcul d une espérance ! 14-12-05 à 18:12

Oui parce que j'atais d'accord avec le 1°.

Posté par
franzre : calcul d une espérance ! 14-12-05 à 18:15

A la relecture je ne suis pas d'accord.

\Bigsum_{k=1}^a k\,\frac{a}{n^2}=\Large \frac{a^2(a+1)}{2n^2}

Posté par Liloue (invité)re : calcul d une espérance ! 15-12-05 à 07:10

c'est bon tout est calculé, recalculé et ca tombe juste ! merci franz !

Posté par
franzre : calcul d une espérance ! 15-12-05 à 17:38

Avec plaisir


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !