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Calcul d'une somme infinie avec complexes

Posté par
Astarus 08-12-20 à 22:00

Bonsoir à tous !

J'explore le programme de sup (je suis en terminale) et je rencontre un exercice qui attise ma curiosité, mais je n'arrive pas à le résoudre.

Voici l'énoncé :

Calculer, pour n entier naturel, S_{n}=\sum_{k=0}^{+\infty}{(-1)^k(nC(2k))} où nC(2k) désigne le correspond au coefficient binomial 2k parmi n (si quelqu'un sait comment les écrire avec Latex, je suis preneur).

Je dispose de l'indication : " Introduire T_{n} la somme alternée des termes impairs (1-3+5-7... ?) et considérer S_{n}+iT_{n}.

Cet exercice m'intéresse notamment car il s'agit de passer par les complexes pour calculer une somme réelle, ce que j'avais déjà vu uniquement pour des sommes trigonométriques, ici je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance pour toute indication !

Astarus.

Posté par
lafol Moderateurre : Calcul d'une somme infinie avec complexes 08-12-20 à 22:46

Bonsoir
déjà, {k\choose n} donne {k\choose n}

ensuite, pense que i^{2k} vaut (-1)^k

et pour terminer : développement du binôme, qui fait intervenir des coeffs ... binômiaux !

Posté par
etniopalre : Calcul d'une somme infinie avec complexes 09-12-20 à 00:18

      Pour tout couple (n , p) ²  je désigne par C(n , p) le nombre de parties ayant  p éléments  d'un ensemble  qui en a n . Donc C(n , p) = 0 si p > n et sinon C(n , p) = n!/p!(n-p)! .


  S_{n} :=\sum_{k=0}^{+\infty}{(-1)^kC(n,2k))} est alors une somme  finie  qu'on rencontre dans (1 + i)2n   (On met alors  celui-ci  sous la forme re[sup]it[sup]   où r  et  t  sont des réels agréables  .

Posté par
Astarusre : Calcul d'une somme infinie avec complexes 10-12-20 à 20:10

Merci à vous deux pour vos indications, j'ai finalement réussi cet exercice grâce à vous. Encore merci !

Posté par
malou Webmasterre : Calcul d'une somme infinie avec complexes 10-12-20 à 21:18

Astarus, merci de modifier ton niveau dans ton profil,

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
Astarusre : Calcul d'une somme infinie avec complexes 10-12-20 à 21:32

Bonsoir Malou !

J'ai modifié mon profil en "supérieur loisir" car certes je tâte de la maths sup, mais je suis encore en terminale. Cela convient ou bien je modifie quand même mon profil en "maths sup", même si ce n'est pas tout à fait le cas ?


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