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Niveau quatrième
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Calcul de cos 15°

Posté par
queenoftheworld
27-05-13 à 21:51

Bonjour!

J'ai un DM de maths assez compliqué à faire, toute aide est la bienvenue!

J'ai essayé de faire la figure.

Voici les questions:

2) Calculer les angles sur la figure ( nous savons que HAB fait 30° et que BH est la hauteur issue de B, AB et AC font 10cm donc le triangle est isocèle) [Cette question est faite)

3) Il faut calculer les valeurs exactes de la longueur CH.
4) Il faut calculer la valeur exacte de BH et déduire la longueur CH.
5) Il faut calcuer le carré de la longueur de BC
6) verifier 2-3 = ( 1-3 / 2 )2
et déduire la valeure exacte de la longueur BC
7) calculer cos 15° en s'aidant des longueurs d'avant.
9) démontre que cos 15° = 6 = 2 / 4
10) démontre que cos75° = 6 - 2 / 4

Merci d'avance!

Calcul de cos 15°

Posté par
mathafou Moderateur
re : Calcul de cos 15° 27-05-13 à 23:04

Bonjour

on sait que la valeur exacte des fonctions trigonométriques de l'angle de 30° (l'angle en A) sont :

cos(30°) = \small \dfrac{\sqrt{3}}{2}
(sinus et tangente on s'en fiche ici)

AH = AB cos(30°)
et CH = AC - AH
etc ...

BH c'est avec le sinus 30°, ou à défaut Pythagore
BC c'est Pythagore

la question 6 c'est développement et simplification d'expressions avec des racines
puis "en déduire", de BC² calculé question d'avant, la valeur de BC en utilisant la formule avec des radicaux qu'on vient de prouver.

7 et 9 : (pas de question 8 ??) en s'assurant que l'angle CBH fait bien 15°, le cosinus de 15° c'est donc ...
(question 9 faute de frappe)

question 10 : c'est l'angle HCB qui cette fois est à utiliser.

Posté par
Solaroc
re : Calcul de cos 15° 27-05-13 à 23:36

Salut à toi,

3) Calculons CH :
On sait que CH = AC - AH = 10 - AH
Il nous manque donc AH pour connaître la valeur de CH ... Calculons le !

cos(A) = \frac{AH}{AB}

cos(30) = \frac{AH}{10}

AH = cos(30) x 10

Donc CH = 10 - (cos(30) x 10 ) = 1.33974596216 1,3

4) Calculons BH

Sin(A) = \frac{BH}{AB}

Sin(A) = \frac{BH}{10}

BH = sin(30) x 10 = 0,5 x 10 = 5

5)Calculons le carré de la longueur de BC
On utilise Pythagore :
BC2= CH2+ BH2
BC2 = 1,32+ 52
BC2 = 1,69 + 25 = 26,69

Je m'arrête là, je suis fatigué. Dites moi si c'est faux, je suis à moitié endormi sur mon PC :/

Posté par
mathafou Moderateur
re : Calcul de cos 15° 27-05-13 à 23:53

Bonsoir,

c'est faux car on veut exclusivement des valeurs exactes, pas des valeurs approchées

la valeur exacte de cos(30°) n'est pas 0.866025403784
qui conduit à CH = 1.33974596216
ni même
cos(30°) = 0.86602540378443864676372317075294 donnant CH = 1.3397459621556135323627682924706

toutes ces valeurs sont déja de "grossières" approximations
c'est déja avec "à peu près égal" dès le début
cos(30°) 0.86602540378443864676372317075294 (approximation grossière !!!) pas " = "

c'est exactement \small cos(30°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} point barre
et cela donne
\small CH = 10\left (1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right ) = 5\left (2 - \sqrt{3}\right ) c'est ça qui est demandé. pas une valeur décimale, fût elle avec 250 chiffres après la virgule.

la suite idem. que des valeurs exactes avec des radicaux quand il y en a et des fractions quand il y en a.

Posté par
takeru
re : Calcul de cos 15° 27-05-13 à 23:53

Bonsoir,

je suis fatigué aussi donc je ne vais pas vérifier tes calculs Solaroc, mais je pense que tu n'étais pas obligé de détailler TOUS tes calculs (et donc de ne pas te fatiguer) mais de simplement aiguiller "queenoftheworld" dans la réalisation de son exercice ...
Par exemple, tu lui mettais juste la première ligne pour chaque question ou la méthode à utiliser et "queenoftheworld" finissais, comme à fais mathafou ...
C'est son exercice donc autant que ce soit elle qui le fasse ... et puis ça lui permettra surement de mieux comprendre lorsqu'elle aura d'autres exercices dans ce genre

Bonne nuit

Takeru.

Posté par
queenoftheworld
re : Calcul de cos 15° 28-05-13 à 21:25

Merci beaucoup! Votre aide m'est très précieuse!
Je n'ai pourtant toujours pas compris la question 6.

Rectification question 9
cos 15° = 6 + 2 / 4
    

Posté par
takeru
re : Calcul de cos 15° 28-05-13 à 21:46

Il faut que tu développes ( 1-\sqrt{3} / \sqrt{2} )^2
Restes à savoir si ce que tu as écit veut dire (1 - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2 ou (\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2 ???

Posté par
queenoftheworld
re : Calcul de cos 15° 28-05-13 à 22:36

Je ne sais pas faire de barre de fraction!
L'équation est la deuxième

Posté par
queenoftheworld
re : Calcul de cos 15° 28-05-13 à 22:44

Donc AH = 10 cos30° ou  AB-HB
et BH = AB-AH donc 10-(10cos30°)

CH = 10-(10cos30°)

BC2 = HC2+ HB2 = 10-(10cos30°)+ 10-(10cos30°)

Est-ce juste?

Posté par
takeru
re : Calcul de cos 15° 28-05-13 à 23:55

Citation :
Donc AH = 10 cos30° ou  AB-HB
et BH = AB-AH donc 10-(10cos30°)

CH = 10-(10cos30°)

BC2 = HC2+ HB2 = 10-(10cos30°)+ 10-(10cos30°)

Est-ce juste?


Tu parles de quelle question là ?
On etait en train de parler de la 6 non ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Calcul de cos 15° 28-05-13 à 23:57

Pas vraiment lisible et de toute façon faux.

1ere remarque :

Citation :
Je ne sais pas faire de barre de fraction!
et alors ?? tu sais taper des parenthèses non ?
(\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2 s'écrit (\red (1-3\red )/2)2

donc à appliquer aussi dans tes propres résultats
et quand tu écris P - Q tu dois distinguer

P - Q qui veut réellement dire \sqrt{P} - Q de

\red(P - Q\red) qui veut dire \sqrt{P - Q}

(en plus Pythagore c'est somme des carrés)

Donc AH = 10 cos30° OK
ou ("ou bien" ou "où" ??)
AB-HB faux et ne représente rien, ni Pythagore (il manque des carrés et des parenthèses) ni rien.
de toutes façon on n'en est pas encore à la suite
AH = 10 cos30° = \red 10\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}
cos(30°) = (3)/2 est fondamental pour la suite qui fait intervenir ces 3 et autres un peu partout !!

donc passons à cette suite
BH = AB-AH certainement pas !!
BH^{\red 2} = AB^{\red 2} - AH^{\red 2} oui, c'est ça Pythagore pas tes élucubrations sans carrés ni parenthèses

donc BH² = 10² - (103/2)² = 100 - 1003/4 = 100/4
et BH = (100/4) = 10/2 = 5

(en connaissant le sinus on a directement BH = AH sin(30°) = AH1/2)

CH = 10-(10cos30°) OK mais incomplet

cos(30°) = (3)/2
donc ça fait comme j'ai dit dans mon post d'hier :
Citation :
\small CH = 10\left (1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right ) = 5\left (2 - \sqrt{3}\right )


BC2 = HC2+ HB2 OK
= 10-(10cos30°)+ 10-(10cos30°)
et où donc sont passés les carrés ???
et HB est faux (voir ci dessus
HC = 10-(10cos30°) OK (mais pas fini voir ci dessus)
HB = 5 (voir ci-dessus)
et donc
BC² = \red(10-(10cos30°)\red)^2 + \red 5^2

à développer etc en fonction des fameux 3 ci dessus et des identités (A+B)² = A² + 2AB + B²

Posté par
takeru
re : Calcul de cos 15° 28-05-13 à 23:57

Les carrés avec les fractions c'est tout simple.

\frac{a}{b}^2 = \frac{a^2}{b^2}
Oublie pas les identités remarquables pour le numérateur

Je te laisse le faire

Posté par
takeru
re : Calcul de cos 15° 28-05-13 à 23:58

C'est (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}

Posté par
mathafou Moderateur
re : Calcul de cos 15° 29-05-13 à 00:04

Bonsoir takeru,

en fait la 6 le problème c'était juste l'écriture
pour la résolution de l'exo on en était au tout début (la (3))

et attention aussi aux ambigüités quand tu écris (même en LaTeX il faut parfois ajouter des parenthèses !!)
\frac{a}{b}^2 = \frac{a^2}{b^2} c'est "apparemment faux"
tu voulais bien sur dire
{\red (}\frac{a}{b}{\red )}^2 = \frac{a^2}{b^2}

Posté par
takeru
re : Calcul de cos 15° 29-05-13 à 00:09

Ah d'accord pour "l'endroit" où vous étiez.

Oui, je m'en étais rendu compte quand j'ai vu mon message apparaitre, j'avais oublié de voir l'aperçu ... (j'avais d'ailleurs corrigé mais tu n'avais pas du le voir au moment où tu écrivais ton message ...)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Calcul de cos 15° 29-05-13 à 00:19

oui pour ta correction j'ai oublié de faire "rafraichir la page" avant d'envoyer, désolé. j'aurais vu que tu avais corrigé tout seul

Posté par
takeru
re : Calcul de cos 15° 29-05-13 à 00:34

Posté par
queenoftheworld
re : Calcul de cos 15° 29-05-13 à 16:18

Merci à tous!

Posté par
takeru
re : Calcul de cos 15° 29-05-13 à 16:48



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