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Calcul de dérivée d'une fonction exp

Posté par
MadGirl 13-05-10 à 22:29

Coucou !!
Je me bats avec une dérivée depuis plus d'une heure.

f (x) = ( e^x - 1 ) / ( (xe^x) + 1 )
f'(x) = ???
Quelqu'un peut me mettre le détail du calcul qui aboutit au résultat ?

u(x) c'est e^x - 1
u'(x) c'est e^x
v(x) c'est xe^x +1
v'(x) c'est e^x (1+x)

C'la forme u/v
Donc j'ai développé (u'v)-(v'u) / (v²)
Mais après l'énorme développement j'trouve pas comment simplifier. Donc si quelqu'un pouvait refaire le calcul du début à la fin, ça sera super !
Merci d'avance

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 22:39

Salut,

Poste plutôt ton calcul on te dira comment simplifier etc

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:08

Baaaaaaaaah

(2e^x * xe^x ) - (e^x*e^x + e^x*xe^x -  e^x - xe^x)
(2e^x * xe^x ) - (e^2x + e^x*xe^x - e^x - xe^x)


J'ai pas été plus loin.

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:10

Factorise par l'exponentielle pour y voir plus clair

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:16

J'ai le droit de faire
(2e^x * xe^x ) = e^x(2x) déjà ?

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:20

Tu as deux exponentielles, donc 3$2e^xxe^x=2xe^xe^x=(2x)e^{(2x)}

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:29

Ah oui, en effet. Merci bien.
Et pour (e^2x + e^x*xe^x - e^x - xe^x)
j'peux faire comment ? (e^2x + e^x(x+1) - e^x (x-1)) non ?

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:31

Même remarque que avant sans le 2.

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:36

Mais y a pas deux exp ici oO
Et il y a des - et des + partout.
(e^2x - e^x(x+1 + x-1)) c'possible ça ? x)

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:37

Citation :
(e^2x + e^x*xe^x - e^x - xe^x)

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:39

(e^2x + e^x*xe^x - e^x - xe^x)
= (e^2x + 2xe^x - e^x - xe^x)

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:42

Tu avais l'air d'avoir compris mon poste à 23h20, c'est à très peu de chose près la même chose.

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:46

(e^2x + e^x(x+1) - e^x - xe^x)

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:46

(e^2x + e^x(x+1) - e^x(x-1))

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:49

Tu me fais quoi là ? ^^

Tu lis mes postes au moins ? Je t'aide pas plus pour le moment, tu me dis avoir compris ce que j'ai écris un peu plus haut et là c'est la même chose, ou alors faut que tu me dises ce que tu comprends pas..

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:49

Bah j'vois pas cmt tu veux que je simplifie mieux
e^x*xe^x
a part mettre e^x en facteur oO
M'enfin.

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:53

3$e^xe^x=e^{2x}

J'ai une question, tu préfères que je te mette le calcul de dérivée fini etc où j'essaye de te mener au résultat ?
Parce que là j'ai pas l'impression que tu lis attentivement ce que j'écris, ou alors je me trompe ?

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:53

(e^2x + e^x*xe^x - e^x - xe^x)
= (e^2x + xe^2x - e^x - xe^x)

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:54

J'm'en fiche de la dérivée finie, j'cherche a avoir un détail de calcul juste pour que j'comprenne ^^
Mais ça fait plus d'une heure que j'essaie et m'entête sur ce calcul, et j'tourne en rond ^^'

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:54

Et bah voilà.

Tu peux mettre ensemble ce qui est en 3$e^{2x} et ensemble ce qui est en 3$e^x.

Ca te donne quoi ?.

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:56

(e^2x + e^x*xe^x - e^x - xe^x)
= (e^2x + xe^2x - e^x - xe^x)
=(e^x + xe^2x - xe^x)

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 13-05-10 à 23:57

(e^2x + e^x*xe^x - e^x - xe^x)
= (e^2x + xe^2x - e^x - xe^x)
=(e^x + xe^2x - xe^x)
=(e^x + xe^x) ?

Posté par
thebigcoopre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:06

4$ f'(x) = \frac{{\left( {2 + x} \right){e^x} - {e^{2x}}}}{{{{\left( {x{e^x} + 1} \right)}^2}}}

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:07

C'est un peu bizarre là ce que tu me fais.

exp(2x) c'est différent de 2exp(x).

Je voulais que tu regroupes les exp(2x) ensemble et les exp(x) ensemble, c'est à dire que ça nous donne (1+x)*exp(2x)-(1+x)*exp(x)

Et si tu on prend tout le numérateur ça donne, (x-1)*exp(2x)+(1+x)exp(x)

Tu factorises par exp(x).

Tu vois que tu peux pas trouver le signe de ce qui est dans la parenthèse donc tu dois de nouveau dériver (ce qui est dans la parenthèse) pour en trouver le signe

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:13

Je m'y perds avec tous les signes. =(

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:14

En factorisant ça donne c'qu'a écrit thebigcoop non ?

Posté par
thebigcoopre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:21

4$ u(x) = {e^x} - 1   ;   4$ v(x) = x{e^x} + 1{\rm{ }}
4$ u'(x) = {e^x}{\rm{ }}   ;   4$ v'(x) = x{e^x} + {e^x}

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:23

thebigcoop, on sait déjà ça. ^^

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:23

Bon j'ai pas vérifier ce que ta fais au début, du coup c'est faux tout ce qu'on fait.

Je te poste le détail, tu me posera des questions si tu as besoin

3$f^{\prime}(x) \, = \, \fr{e^x(xe^x+1)-(e^x-1)(e^x(x+1))}{(xe^x+1)^2} \, = \, \fr{\(xe^{2x}+e^x\)-\(e^{2x}(x+1)-e^x(x+1)\)}{(xe^x+1)^2} \, = \, \fr{xe^{2x}+e^x-e^{2x}(x+1)+e^x(x+1)}{(xe^x+1)^2} \, = \, \fr{-e^{2x}+e^x(2x+1)}{(xe^x+1)^2}\, = \, \fr{e^x(-e^x+2x+1)}{(xe^x+1)^2}

On connait pas le signe de la parenthèse au numérateur, donc on pose 3$g(x) \, = \, -e^x+2x+1

3$g^{\prime}(x) \, = \, -e^x+2, c'est positif quand 3$x\le \ell n(2) donc 3$g a un maximum en 3$\ell n(2), et 3$g(\ell n(2))\, = \, -2+2\ell n(2)+1\, = 2\ell n(2)-1 \, > \, 0, donc la tu utilise le Th des valeurs intermédiaire pour conclure qu'il existe deux réels où la dérivée s'annule.

La fonction exponentielle est strictement positif, le carré du bas est positif donc la dérivée de 3$f est du signe de 3$g.

Donc 3$f est croissante entre les deux réels ou 3$g s'annule et décroissante en dehors.

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:25

Citation :
donc la tu utilise le Th des valeurs intermédiaire pour conclure qu'il existe deux réels où la dérivée s'annule.

La dérivée de 3$f hein

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:26

Merci d'avoir passer tant de temps pour m'aider, je regarderai en détail le calcul, j'file au lit là.
Je pose des questions demain si je bug ^^
Merci encore.

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:27

Bonne nuit  

Posté par
thebigcoopre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:28

Je dirais que c'est:
4$ \begin{array}{l} \\ f'(x) = \frac{{u'(x)v(x) - u(x)v'(x){\rm{ }}}}{{{{\left( {{\rm{ }}v(x)} \right)}^2}}} \\ \\ f'(x) = \frac{{{e^x}\left( {x{e^x} + 1{\rm{ }}} \right) - \left[ {\left( {{e^x} - 1{\rm{ }}} \right)\left( {x{e^x} + {e^x}} \right)} \right]{\rm{ }}}}{{{{\left( {{\rm{ }}x{e^x} + 1{\rm{ }}} \right)}^2}}} \\ \\ f'(x) = \frac{{x{{\left( {{e^x}} \right)}^2} + {e^x} - \left[ {x{{\left( {{e^x}} \right)}^2} + {{\left( {{e^x}} \right)}^2} - x{e^x} - {e^x}} \right]{\rm{ }}}}{{{{\left( {{\rm{ }}x{e^x} + 1{\rm{ }}} \right)}^2}}} \\ \\ f'(x) = \frac{{x{e^{2x}} + {e^x} - x{e^{2x}} - {e^{2x}} + x{e^x} + {e^x}{\rm{ }}}}{{{{\left( {{\rm{ }}x{e^x} + 1{\rm{ }}} \right)}^2}}} \\ \\ f'(x) = \frac{{2{e^x} + x{e^x} - {e^{2x}}{\rm{ }}}}{{{{\left( {{\rm{ }}x{e^x} + 1{\rm{ }}} \right)}^2}}} \\ \\ f'(x) = \frac{{(2 + x){e^x} - {e^{2x}}{\rm{ }}}}{{{{\left( {{\rm{ }}x{e^x} + 1{\rm{ }}} \right)}^2}}} \\ \\ \end{array}

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:30

Dans la  suite de l'exo on me dit
On admet que la fonction g telle que g(x) = x + 2 -e^x est positive pour 0 < x < alpha et négative pour x > alpha
Où alpha = 1.15.
En déduire le signe de f'

J'dois me servir de l'étude de fonction que tu as fait sur ton dernier post ?

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:30

Et je dois écouter qui entre thebigcoop et olive ? xD

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:37

Ben si tu lis mon poste tu vois que j'ai fais exactement ce que la suite de ton exo dit

Sinon thebigcoop ( Salut ) et moi on a écrit la même chose sauf que moi j'ai continué

Posté par
thebigcoopre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 00:48

4$ f'(x) = \frac{{(2 + x - {e^x}){e^x}{\rm{ }}}}{{{{\left( {{\rm{ }}x{e^x} + 1{\rm{ }}} \right)}^2}}}

Posté par
thebigcoopre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 01:13

Tu dois étudier le signe de f'(x):
Tu as alors par définition pour tout réel x : 2$ {e^x} > 0
Ainsi que tu sais qu'un carré est toujours positif sur 1$ R
Et d'après l'énoncé quand:
2$ x < \alpha : 2$ x + 2 - {e^x} > 0
2$ x > \alpha :2$ x + 2 - {e^x} < 0
D'où le tableau de signe suivant:

Calcul de dérivée d\'une fonction exp

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 01:22

Ton tableau de variation est faux en partie, il faudrait le faire sur 3$[0,+\infty[

Parce qu'il existe deux endroits ou g s'annule et il y a deux fois changement de signes sur IR

Posté par
thebigcoopre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 01:24

Il faut aussi que tu comprennes comment factoriser car tu as pas du comprendre:
4$ \begin{array}{l} \\ f'(x) = \frac{{2{e^x} + x{e^x} - {e^x}{e^x}{\rm{ }}}}{{{{\left( {{\rm{ }}x{e^x} + 1{\rm{ }}} \right)}^2}}} \\ \\ f'(x) = \frac{{(2 + x - {e^x}) - {e^x}{\rm{ }}}}{{{{\left( {{\rm{ }}x{e^x} + 1{\rm{ }}} \right)}^2}}} \\ \\ \end{array}   OU:   4$ \begin{array}{l} \\ f'(x) = \frac{{(2 + x){e^x} - {e^{2x}}{\rm{ }}}}{{{{\left( {{\rm{ }}x{e^x} + 1{\rm{ }}} \right)}^2}}} \\ \\ f'(x) = \frac{{(x + 2){e^x} - {e^x}{e^x}{\rm{ }}}}{{{{\left( {{\rm{ }}x{e^x} + 1{\rm{ }}} \right)}^2}}} \\ \\ f'(x) = \frac{{(x + 2 - {e^x}){e^x}{\rm{ }}}}{{{{\left( {{\rm{ }}x{e^x} + 1{\rm{ }}} \right)}^2}}} \\ \\ \end{array}
Si tu as d'autres questions n'hésite pas.

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 01:29

Une petite erreur de frappe dans ta deuxième ligne du côté gauche, c'est   4$f^{\prime}(x) = \frac{{(2 + x - {e^x}) {e^x}{\rm{ }}}}{{{{\left( {{\rm{ }}x{e^x} + 1{\rm{ }}} \right)}^2}}}

Posté par
thebigcoopre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 10:07

Il était temps que j'ailles me coucher olive_68 a raison sur les 2 derniers posts le tableau est complètement FAUX.
Et 4$ f'(x) = \frac{{(2 + x - {e^x}){e^x}}}{{{{(x{e^x} + 1)}^2}}} = \frac{{g(x) \times {e^x}}}{{{{(x{e^x} + 1)}^2}}}

Mon erreur viens du fais que j'ai mal lu (enfin la moitier) le signe de g(x): "positive pour 0 < x < alpha et négative pour x > alpha"
Tu as alors:
pour: x \in [\alpha ; + \infty [ on a: g(x) < 0
pour: x \in [0;\alpha[ on a: g(x) > 0
Tu peux donc faire le tableau sur [0; + \infty [

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 11:05

Oui, cela ressemble bien à ma question suivante sauf que tu n'as pas pris le même g(x).
Je prends celui du bouquin, ou le tien ?

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 11:09

Je parlais à Olive pour mon dernier post.
Merci thebigcoop.

Ensuite il faut que je montre que la fonction f du départ, peut s'écrire (1 - e^-x) / (x + e^-x)
Mais je ne sais pas comment démarrer.

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 11:11

Et merci thebigcoop, j'ai bien compris la factorisation grâce à ton post.

Posté par
thebigcoopre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 14:17

Tu en es où ?

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 18:05

J'ai pas avancé, j'étais en cours ^^
Donc ouais
"montrer que la fonction f du départ, peut s'écrire (1 - e^-x) / (x + e^-x)"

Je sais pas c'qui est le plus judicieux, entre demarrer de l'écriture de f du départ, ou commencer par (1 - e^-x) / (x + e^-x) pour arriver a l'écriture de départ.
Et je sais pas comment m'y prendre pour demarrer.

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 18:28

Tu pourrais te demander d'où viennent les exp(-x) ^^

Peut-être en sachant que exp(x)*exp(-x) = 1 ça ira mieux ?

Posté par
MadGirlre : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 18:31

J'ai trouvé !
Je multiplie le numérateur et le dénominateur par e^x et j'obtiens f (x) = ( e^x - 1 ) / ( (xe^x) + 1 )
Merci beaucoup !!

Ensuite on me demande d'en déduire la limite vers +oo

Posté par
olive_68re : Calcul de dérivée d'une fonction exp 14-05-10 à 18:31

Ok, ben fais le alors

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