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Calcul de derivées et suites

Posté par
nessmath 19-09-21 à 17:25

Bonjour j'ai un dm à faire et j'ai besoin de l'aide ;

Soit f la fonction dérivable sur R définie par f = e^{x}(x^{2}+x+1)
On admet que pour tout n\geq 1, la derivée n-ième de f existe.

1. Calculer f'(x)
2. L'affitmation A suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier
A : Pour n\geq 1, la derivée n-ième de f est donnée par la formule : f^{(n)}(x) = e^{x}(x^{2}+(2n+1)x+n^{2}+1)


Voilà merci d'avance

Posté par
heklare : Calcul de derivées et suites 19-09-21 à 17:29

Bonsoir

Qu'avez-vous trouvé pour f'(x) ?

Posté par
nessmathre : Calcul de derivées et suites 19-09-21 à 17:59

Alors je vous donne le resultat directement :
f'(x) = e^{x}(x^{2}+x+1)+(2x+1)e^{x}
= 2e^{x}+3x+x^{2}

Merci,

Posté par
heklare : Calcul de derivées et suites 19-09-21 à 18:05

Non pour le final  revoir factorisation

f'(x)= \text{e}^x(x^2+x+1)+\text{e}^x(2x+1)

f'(x)=\text{e}^x(x^2+3x+2)

Posté par
nessmathre : Calcul de derivées et suites 19-09-21 à 18:17

D'accord c'est corrigé !

Pour la 2 je comprend pas trop par quoi il faut commencer et quoi faire. Merci pour votre aide

Posté par
heklare : Calcul de derivées et suites 19-09-21 à 18:19

Un raisonnement par récurrence

Posté par
nessmathre : Calcul de derivées et suites 19-09-21 à 18:26

Avec tout ce qui est initialisation et herédité ? D'accord mais je comprend pas pourquoi on nous précise que n doit être superieur ou égale à 1.
À quoi nous sert cette info ?

Posté par
heklare : Calcul de derivées et suites 19-09-21 à 18:31

Parce que pour n=0 la dérivée n'existe pas, c'est la fonction elle-même
n=1, c'est la dérivée première f'=f^{(1)}  

n=2 la dérivée seconde  f''=f^{(2)}

  pour f^{(n)} on a dérivé n fois la fonction

Posté par
nessmathre : Calcul de derivées et suites 19-09-21 à 20:31

Alors on aimerais démontrer que pour n\geq 1, la derivée n-ième de f est : f^{(n)}(x)= e^{x}(x^{2}+(2n +1)x+n^{2}+1

Initialisation : pour x = 1
D'une part;
f'(1)= e^{1}(1^{2}+3*1+2)

D'autre part;
f^{n}(1)= e^{1}(1^{2}+(2n+1)1+n^{2}+1)

Mais la je suis bloqué...
Merci de m'aider

Posté par
heklare : Calcul de derivées et suites 19-09-21 à 21:01

¨Pourquoi 1 ?  n=1\  f'(x)= \text{e}^x(x^2+(2\times 1+1)x+(1^2+1))=\text{e}^x(x^2+3x+2)

C'est bien le résultat trouvé pour f'(x)

On suppose que la relation est vraie pour k, c'est-à-dire que f^{(k]}(x)=\text{e}^x(x^2+(2k+1)x+k^2+1)

On dérive f^{(k+1)}(x)=


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