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Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid

Posté par
Pic_mirandole 16-06-08 à 18:01

Bonjour à toutes et à tous,

je profite de ce forum pour vous poser mon petit problème de probabilités.
Je souhaiterais connaître la loi de probabilité d'une somme de carrés de deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes et identiquement distribuées (v.a.g.i.i.d) qui sont ni centrées et ni réduites (d'espérance et de variance quelconques, non unitaires). On trouve aisément dans la littérature une réponse pour le cas où les v.a.g sont centrées, réduites (loi du Chi deux) ou encore réduite (distribution du Chi-deux non centrée) ainsi que la loi de la somme des carrés des écarts de ces v.a.g avec la moyenne empirique. Mais ce qui m'intéresse, c'est exclusivement la loi de la somme de deux carrés de v.a.g.i.i.d
J'ai essayé de calculer la densité en essayant plusieurs changements de variables (en coordonnées polaires, en centrant puis réduisant ou en combinant ces changements de variables) mais rien n'y fait. J'ai également navigué sur le web, consulté quelques bouquins de proba, sans succès.
Si quelqu'un a la réponse ou encore une piste à exploiter pour que je trouve la réponse, n'hésitez pas à vous exprimer sur ce topic.

Par avance, merci et à bientôt,

Pic.

PS: si vous avez des questions, des objections, ne vous privez pas.

Posté par
robby3re : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 16-06-08 à 18:11

Bonjour et bienvenue,
j'ai lu ton probleme...
tu cherches à déterminer la loi de \large X_1^2+X_2^2 ou \large X_1 et \large X_2 suivant la loi \large N(m,\sigma^2)
??

Citation :
en centrant puis réduisant

>cad en posant \large X_1=\frac{Y-m}{\sigma}
avec \large Y suivant la loi  \large N(0,1)
mon prof m'a pourtant toujours assuré qu'un calcul sur les var gaussiennes pouvait se ramener à un calcul sur des var gaussiennes centrées-réduites...
c'est un probleme interressant.

Posté par
Pic_mirandolere : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 16-06-08 à 18:23

Hello robby3,

c'est bien ce que je souhaite calculer: la loi de X^2+Y^2 où X et Y suivent une loi gaussienne non centrée et non réduite.

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 16-06-08 à 18:25

Salut.

Le carré d'une loi  N(mu, 1)  est une khi2 avec un degré de liberté et un paramètre de décentrage  mu². As-tu déjà vu la tête de la densité de cette loi ? Pas simple!

Donoc le carré d'une loi  N(mu, sigma²)=sigma*N(mu,1)  est une telle khi-deux multipliée par  sigma² (attention ce n'est pas la densité qu'on multiplie).

On pourrait appeler ça une Gamma décentrée  Gamma(1/2,1/(2sigma²),mu²), car  sigma²  multiplié par une khi-deux avec p degré de liberté est une  Gamma(p/2,1/(2*sigma²)).

Finalement tu vas ajouter deux lois comme ça avec des paramètres différents... on sait faire  Gamma(a1,b)+Gamma(a2,b)=Gamma(a1+a2,b) mais on sait pas simplifier  Gamma(a,b1)+Gamma(a,b2).... donc déjà dans le cas ou il n'y a pas de décentrage  (moyennes nulles), il s'agit de simplifier  Gamma(a,b1)+Gamma(a,b2). C'est peut-être possible mais ce n'est pas quelque chose de bien connu.

Si on sait simplifier  Gamma(a,b1)+Gamma(a,b2), je pense qu'on pourrait généraliser au cas avec décentrage (pas sûr j'y ai réfléchi une minute)

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 16-06-08 à 18:27

Citation :
c'est bien ce que je souhaite calculer: la loi de X^2+Y^2 où X et Y suivent une loi gaussienne non centrée et non réduite.


aaaahhh X et Y ont la même loi ?? ben oui alors c'est une Gamma que tu cherches!

Posté par
robby3re : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 16-06-08 à 18:28

\large X_1^2+X_2^2=2\(\frac{Y-m}{\sigma}\)^2=\frac{2}{\sigma^2}(Y^2-2Ym+m^2)
donc\large E[X_1^2+X_2^2]=\frac{2}{\sigma^2}-2\frac{m^2}{\sigma^2}+\frac{m^2}{\sigma^2}=\frac{2-m^2}{\sigma^2}
non?

Posté par
robby3re : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 16-06-08 à 18:29

ahh Salut Stokastik...je te laisse faire et je regarde

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 16-06-08 à 18:33

... pas trop le temps en fait

1) Dans ta méthode avec X_1 et X_2 tu t'es trompé il faudrait Y1 et Y2
2) On ne cherche pas l'espérance mais la loi!

Posté par
Pic_mirandolere : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 16-06-08 à 18:50

Salut stokastik,

merci d'avoir pris la peine de répondre (et d'avoir corrigé l'intervention de robby3 - merci également à robby3 - )

Pour ta réponse, est-ce que tu pourrais s'il te plaît:
- me préciser si la loi Gamma comporte deux ou trois paramètres car dans ton post, je lis:
"Gamma(1/2,1/(2sigma²),mu²)": j'en déduis 3 paramètres
"Gamma(p/2,1/(2*sigma²))": j'en déduis 2 paramètres
- me préciser à quoi correspondent ces deux paramètres (dans le cas qui nous concerne: avec deux gaussiennes non centrées et non réduites)
- éventuellement si tu as une référence bibliographique (internet ou bouquin) qui référence le calcul ou donne la marche à suivre (ie fait l'analogie, le lien entre les sommes de carrés de va iid gaussiennes et la loi Gamma).

J'espère ne pas être trop exigeant,

en tout cas merci encore pour tout,

Pic.

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 16-06-08 à 18:50

Mais bon avec une bonne définition de la khi-deux décentrée on voit facilement que la somme de 2 khi-deux décentrées en est une aussi.

Finalement il s'agit de trouver la densité de  sigma²*K  où K suit une khi-deux décentrée, et la densité de  sigma²*K  s'exprime immédiatement à partir de celle de K.

Ca marche aussi pour des moyennes différentes.

Mais comme je le disais, la densité de la khi-deux décentrée est compliquée.

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 16-06-08 à 18:52

Pas besoin de passer par les Gamma en fait. C'est un détour.

Posté par
Pic_mirandolere : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 16-06-08 à 19:00

Encore moi stokastik,

en fait, j'avais pas pensé à découper le problème de la façon suivante: si le carré d'une va gaussienne suit une loi du chi deux décentrée, la somme de deux va indépendantes (pas nécessairement identiquement distribuées) suivant une loi du chi deux décentrée suit également une loi du chi deux décentrée (facile à démontrer). Je m'étais focalisé sur la somme des carrés directement.

Il n'y a pas besoin de passer par les fonctions Gamme du coup, comme tu le disais.

Merci et bonne soirée,

Pic.

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 17-06-08 à 08:40

À savoir néanmoins:  5$\chi^2_p = {\cal G}\left(\frac{p}{2}, \frac{1}{2}\right).

Et: si 3$X est une variable aléatoire distribuée selon la loi Gamma 3${\cal G}(a,b), alors  4$\lambda X \sim {\cal G}\left(a, \frac{b}{\lambda}\right), pour tout réel 3$\lambda>0.

Posté par
Pic_mirandolere : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 17-06-08 à 14:11

Salut stokastik,

en calculant la loi de lambda*X, si X est une var de densité f, je trouve (par le calcul) une loi de densité |lambda|*f(./lambda), i.e telle que: f[lambdaX](x)=(1/|lambda|)f[X](x/lambda) (lambda différent de 0).
En l'appliquant à X suivant une loi Gamma de paramètres respectifs a et b, je trouve que lambdaX suit une loi Gamma de paramètres respectifs a et lambdab (alors que de ton côté c'est de paramètres a et b/lambda).

J'ai vérifié mes calculs et j'ignore où je me serais trompé.

Par ailleurs, saurais tu comment intégrer des formules latex dans les post (pour le cas où je dois montrer mes calculs si besoin est), car en cliquant sur l'icone "LTX" apparaît: "" et j'ai essayé de mettre une formule avant, ensuite dans le premier crochet, après dans le second mais rien n'y fait (merci la commande aperçu ).

Pic.

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 17-06-08 à 14:45

Bonjour,

Il est possible que tu n'utilises pas la même paramétrisation de la Gamma que moi. Pour moi l'espérance d'une Gamma(a,b) est a/b. Si pour toi c'est ab, alors ça doit être ça.

Pour moi il y a un  exp(-bx)  en facteur dans la densité de Gamma(a,b). On dit que b est le "taux" ("rate" en anglais). Certains considèrent que b est l'"échelle" ("scale" en anglais), l'inverse du taux, donc il y a un exp(-x/b) dans la densité.

Si tu utilises le scale, alors attention: {\cal G}\left(\frac{p}{2}, 2\right).

Pour ta question sur le LaTeX, tu dois pouvoir trouver ces infos dans le site, sinon ouvre un autre post pour demander. Mais en deux mots, tu sélectionnes ta formule écrite en langage LaTeX, et tu cliques sur LTX.

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 17-06-08 à 14:46

Citation :
Si tu utilises le scale, alors attention: \chi^2_p={\cal G}\left(\frac{p}{2}, 2\right)

Posté par
Pic_mirandolere : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 17-06-08 à 15:59

Effectivement, tu as raison, ma paramétrisation est différente (je travaille avec l'échelle). Ce qui explique les deux formules distinctes. En tout cas, je trouve bien que la loi d'une var \alpha X est bien une loi Gamma (avec le second paramètre qui change de valeur), si X suit une loi Gamma.
J'ai essayé de voir s'il en était de même pour une variable X suivant une loi du Khi-deux décentrée, c'est-à-dire étudier la loi de \alpha X (en travaillant sur les densités) et je n'arrive pas à identifier une loi du Khi-deux décentrée avec d'autres valeurs de paramètres. De deux choses l'une, ou bien je n'ai pas trouvé l'astuce qui me permet d'y parvenir, ou bien ce n'est pas le cas, et \alpha X ne suit pas une loi du Khi-deux décentrée.

Je peux t'envoyer mes lignes de calcul, si de ton côté tu trouves que \alpha X suit une loi du Khi-deux décentrée (avec l'hypothèse que X suive une loi du Khi deux décentrée), ou bien si tu confirmes mon résultat, comment peut-on qualifier une telle variable (\alpha X) (loi du khi-deux décentrée "généralisée"?)

Posté par
Pic_mirandolere : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 17-06-08 à 16:03

Pour info (si tu veux refaire le calcul sur la même base que moi), j'utilise l'expression de la densité (de la loi du Khi-deux décentrée) utilisant la fonction de Bessel  donnée dans: http://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-square_distribution

En espérant que cela aide.

Posté par
Pic_mirandolere : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 17-06-08 à 16:09

Je pense que c'est le paramètre de centrage \lambda dans l'expression de l'exponentielle (dans la formule de la densité de probabilité d'une var de loi du Khi-deux décentrée) qui pose problème pour identifier une loi du Khi-deux décentrée sur une var \lambda X.

Qu'en penses-tu?

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 17-06-08 à 16:56


Si X est une khi-deux alors aX n'est pas une khi-deux, c'est une Gamma. Donc pourquoi ça marcherait en décentrée ???

Tu t'en fous tu prends la densité de la khi-deux décentrée et tu fais comme tu disais:

Citation :
en calculant la loi de lambda*X, si X est une var de densité f, je trouve (par le calcul) une loi de densité |lambda|*f(./lambda), i.e telle que: f[lambdaX](x)=(1/|lambda|)f[X](x/lambda) (lambda différent de 0).


Et si ça t'amuse tu peux appeler ça une Gamma décentrée...

Posté par
Pic_mirandolere : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 17-06-08 à 18:46

Je n'ai jamais dit que cela marcherait. Je me suis dit: "je vais voir si de manière analogue à une loi Gamma où si X suit une loi Gamma, \lambda X suit aussi une loi Gamma avec d'autres valeurs de paramètre, c'était aussi le cas pour une Khi-deux décentrée ou non". Allez voir n'engage en rien. J'ai trouvé un résultat et je te l'ai soumis en te demandant ton avis (une manière de la valider par une tierce personne). Rien de plus.

Sinon, cette Gamma décentrée, on la définirait avec 3 paramètres (les deux utilisés pour une Gamma classique et le paramètre de décentrage).

Dans ce cas-là, la somme de deux var (X,Y) iid suivant une loi Gamma décentrée a pour densité le produit de convolution de ces deux densités. Penses-tu que cette densité (associée à X+Y=Z) puisse être une densité de probabilité d'une va de type Gamma décentrée? Si je te pose cette question c'est parce que tu avais écrit:

Citation :
aaaahhh X et Y ont la même loi ?? ben oui alors c'est une Gamma que tu cherches!


S'il y a quelque chose que tu n'as pas compris, n'hésite pas à me le demander

Pic.

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 17-06-08 à 19:55

Citation :
Je me suis dit: "je vais voir si de manière analogue à une loi Gamma où si X suit une loi Gamma,  suit aussi une loi Gamma avec d'autres valeurs de paramètre, c'était aussi le cas pour une Khi-deux décentrée ou non".


Et moi je t'ai répondu "bien sûr que non, car ce n'est déjà pas vrai pour une Khi-deux non décentrée".


Sinon en conclusion ce que je t'ai dit c'est:

Si X1~(mu1, sigmasq1) et si X2~N(mu2,sigmasq2) alors  X1²+X2²  suit une loi Gamma décentrée à condition que  sigmasq1=sigmasq2 (peu importe si mu1=mu2 ou pas), et sinon ce n'est pas une Gamma décentrée, c'est on ne sait pas quoi.  

Posté par
Pic_mirandolere : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 17-06-08 à 20:30

J'ai bien compris la chose suivante:

si 2 var indépendantes suivent deux lois Gamma centrée de même paramètre, alors leur somme suit une loi Gamma centrée (mais pas de même paramètre).

Par contre, pour l'assertion suivante:

si 2 var indépendantes suivent deux lois Gamma DEcentrée de même paramètre, alors leur somme suit une loi Gamma DEcentrée (mais pas de même paramètre),

j'ai un peu plus de mal (à le prouver).

Je voulais donc savoir si tu avais une piste de démonstration (car la densité d'une var de type Gamma et la densité d'une var de type "Gamma décentrée" - nommée ainsi la var \lambda X, où X suit une loi du Khi-deux décentrée - sont différentes dans leur expression), si tu avais fait le calcul ou si tu avais une référence (bouquin, internet) sur lequel tu t'étais appuyée pour l'affirmer. Si tu pouvais m'en faire part (calcul, idée, référence), cela me serait utile pour avancer

Mon objectif étant de comprendre, comme je bloque sur cet élément (le calcul de ce produit de convolution de deux densité d'une "Gamma décentrée" (d'expression très différente d'une Gamma centrée) ne me menant nulle part), j'espère que tu ne m'en voudras pas d'insister là dessus (car j'ai réellement fait les calculs et cela bloque), et je te remercie de toutes les façons de la patience que tu as eue pour me répondre jusqu'à maintenant.

Pic.

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 17-06-08 à 20:44

Ce que je te dis serait évident si tu avais vraiment compris. Tu n'es pas clair quand tu dis "Gamma de même paramètre", car tu ne précises pas quel paramètre. Ecris les choses proprement et utilise ce que j'ai dit auparavant, tu verras qu'il n'y a pas besoin de référence!

En résumé il n'y a qu'à utiliser mon post du 17/06/2008 à 08:40 et la définition d'une Khi-deux décentrées .

Posté par
Pic_mirandolere : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 19-06-08 à 13:04

Salut Stokastik,

effectivement, je n'avais pas été précis dans ma question. Je rectifie donc le tir en précisant dans ce qui suit, que j'ai essayé, dans un premier temps, de démontrer l'assertion suivante:

Citation :
Mais bon avec une bonne définition de la khi-deux décentrée on voit facilement que la somme de 2 khi-deux décentrées en est une aussi.


Je précise à nouveau que les deux var suivent une loi du Khi-deux décentrée de mêmeS paramètreS.

Je m'appuie sur l'expression de la densité de probabilité donnée dans:
http://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-square_distribution

qui est la suivante:

   f_X(x; k,\lambda) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\lambda/2} (\lambda/2)^i}{i!} f_{Y_{k+2i}}(x), x positif.


(il y en a une autre également, mais celle du dessus que j'ai choisi)

1/ Mon calcul de la densité de la somme de deux var X,Y de loi de Khi-deux de mêmeS paramètreS, m'amène à calculer le produit de convolution de ces deux densités f_X*f_Y(x). On a donc une produit de deux sommes infinies sous le signe d'intégration (du produit de convolution). Précisons que compte tenu de la définition du produit de convolution et sachant que ces deux densités sont non nulles pour x>0, la borne d'intégration correspond à l'intervalle [0,x].

2/ Comme l'expression de la densité d'une loi du Khi-deux décentrée fait apparaître une partie correspondant à une densité de probabilité d'une loi du Khi deux centrée (indicé sur la somme), je peux regrouper les densités entre elles, et me ramener à une "double" somme (ie indicée par deux indices) que je sors de l'intégrale (de mesure finie).

J'obtiens donc:

f_X*f_Y(x)= \displaystyle \sum_{i,j=0}^\infty \frac{e^{-\lambda} (\lambda/2)^{i+j}}{i!j!} \int_{0}^{x} f_{Y_{k+2i}}(t) f_{Y_{k+2j}}(x-t) dt

3/ Le calcul de l'intégrale ne pose aucun problème, puisque le calcul du produit de convolution de deux Khi-deux centrée X,Y de paramètres k+2i et k+2j revient à calculer le produit de convolution de deux Gamma ayant le même second paramètre (2) et de premier paramètre distinct (k+2i)/2 et (k+2j)/2, qui donne une loi de densité de probabilité une loi Gamma de premier paramètre (k+2i)/2+(k+2j))/2 (et de second paramètre 2), soit de premier paramètre k+i+j. C'est donc équivalent à avoir une var de densité de probabilité une Khi-deux (centrée) de paramètre 2*(k+i+j).

On a donc: \int_{0}^{x} f_{Y_{k+2i}}(t) f_{Y_{k+2j}}(x-t) dt=f_{Y_{2k+2i+2j}}(x)

4/ Ainsi l'expression obtenue dans 2/ associée au résultat de 3/ donne:

f_X*f_Y(x)=\displaystyle \sum_{i,j=0}^\infty \frac{e^{-\lambda} (\lambda/2)^{i+j}}{i!j!}f_{Y_{2k+2i+2j}}(x)

C'est à cet endroit là que je bloque: j'ai essayé de faire un changement de variable du type n=i+j (dans la double somme), mais cela ne me mène nulle part.

Si tu as un peu de temps, peux-tu me dire:
a) si ce que je t'ai expliqué te paraît clair ou non. Dans le cas où cela ne l'est pas, fais-moi savoir ce qui te paraît confus.
b) si les étapes de calcul que je viens d'énumérer te paraissent correctes. Si erreur il y a, n'hésite pas à me la souligner (j'ai passé toute l'après-midi d'hier à essayer d'avancer sans succès )
c) quelle(s) idée(s) pour aboutir le calcul (je pense que je dois faire apparaître une exponentielle de +lambda sur 2 pour la simplifier avec l'exponentielle de -lambda compte tenu du fait que dans la densité de la somme, on devrait toujours avoir l'exponentielle -lambda/2 mais je n'y parviens pas).

J'ai vraiment pris le temps d'écrire au propre comme tu l'avais conseillé, j'espère que tu comprends mon point de blocage.

Merci par avance,

Pic.

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 19-06-08 à 13:13

Désolé mais je ne vais pas lire ta démarche.

Je parlais de cette définition de la Khi-deux à p degrés de libertés et paramètre de décentrage lambda: c'est la loi de X_1+\ldots+X_p où X_i suit une loi normale N(\mu_i,1) où les \mu_i sont tels que \sum_{i=1}^p\mu_i^2=\lambda.

Partant de cette définition, c'est très simple. Mais il faut pouvoir se permettre de l'utiliser. Ce n'est pas vraiment une définition car elle sous-entend que la loi de X_1+\ldots+X_p ne dépend que de \sum_{i=1}^p\mu_i^2.

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 19-06-08 à 13:14

j'ai oublié les carrés! (somme des X_i au carré)

Posté par
Pic_mirandolere : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 19-06-08 à 13:32

En gros (si j'ai bien compris, dans le cas contraire, corrige moi), ce n'est pas vraiment une définition, mais pour toi, ou avec tes outils, on ne peut pas le démontrer ? (démontrer ce que je t'ai soumis dans le message précédent: le calcul de la loi de la somme de deux var de Khi deux décentrées de mêmeS paramètreS)

Pic.

Posté par
stokastikre : Calcul de la somme des carrés de deux v.a gaussiennes iid 19-06-08 à 13:47

Traditionnellement, pour définir la Khi-deux décentrée, on calcule la densité de

Citation :
X^2_1+\ldots+X^2_p
on voit qu'elle ne dépend que \sum_{i=1}^p\mu_i^2, et ainsi une bonne fois pour toutes on a défini la Khi-deux décentrée. Voir .

Partant de ceci, la somme de deux Khi-deux décentrée de paramètres différents ou pas est clairement une Khi-deux décentrée.


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