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Calcul de limite avec racine cubique

Posté par
ThierBii 07-12-17 à 00:13

Aidez moi chui bloqué sur un exercice
limx->8 (x1/3 -2 )/(x+ 19)1/3 -3 j'ai bien utilisé la formule (a-b) 3=(a-b) (a2+ab+b2)
Mais je ne parviens pas à continuer.

***forum modifié***

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 07:46

BONJOUR,
Je suppose que le -3 fait partie du dénominateur.
Deux méthodes pour y arriver :
Poser X = x1/3 et chercher la limite de (X-2) / [(X3+19)1/3-3]

Ou séparer en deux : \frac{x^{\frac{1}{3}}-2}{x-8} \times \frac{x-8}{(x+19)^{\frac{1}{3}}-3}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 07:54

Dans \frac{x^{\frac{1}{3}}-2}{x-8} \times \frac{x-8}{(x+19)^{\frac{1}{3}}-3} , on peut utiliser faire apparaître deux fois a3-b3 = (a-b) ( .... ) .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 07:56

Une morceau de phrase en trop : "faire apparaître" ou "utiliser".

Posté par
Mirindire : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 11:07

Bonjour,
Premierement tu dois transforme cette fonction dans la foction racine qui devient alors:
  
    lim┬(x→8)⁡〖(∛x-2)/(∛(x+19)-3)〗
   Las si remplace x par 8 tu auras une forme indetermine alors pour elever l'indermination  vous utilisez  cette formule  a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2) sur le numerateur et le denominateur ensuite vous allez avoir: =lim┬(x→8) □(□(□((x-8)/(∛(x^2 )+2∛x+4))/□((x-46)/(∛((x+19)^2 )+3∛(x+19)+9))))

              =lim┬(x→8) □((x-8)/((∛(x^2 )+2∛x+4))×□(((∛((x+19)^2 )+3∛(x+19)+9))/(x-46)))

       Alors la bas vous remplacez x par 8 la fontion devient alors:

       =lim┬(x→8) □((8-8)/((∛(8^2 )+2∛8+4)))×□(((∛((8+19)^2 )+3∛(8+19)+9))/(8-46))=□((0×379)/12)=□(0/12)=0

    Donc: lim┬(x→8)⁡□((∛x-2)/(∛(x+19)-3)) =0
          
          

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 11:46

Bonjour Mirindi,
Difficile de lire ton message.
La limite n'est pas 0 .

Posté par
carpediemre : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 12:21

salut

\dfrac {\sqrt[3] x - 2} {\sqrt[3] {x + 19} - 3} = \dfrac {\sqrt[3] x - \sqrt[3] 8} {x - 8} \times \dfrac {x - 8} {\sqrt[3] {x + 19} - \sqrt[3] {8 + 19}}

on reconnait alors deux taux de variation ...




et pas le bon forum ...

Posté par
Mirindire : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 12:49

Bonjour,
  C'est 0
   Parceque quand tu prends limite de x tend vers 8 tu vas avoir une forme indetermine et puis tu vas elever cette indetermination en utilisant: a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)
  Etape 1: tu transforme la question en fonction racine                                                                                                                                                                                                                                        =             =lim de x tend vers 8 =((race cubuque de x)-2) le tout divise par ( racine cubuque de x+19)-3
Etape 2: la tu ulitises cette formule :  a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)  sur le numerateur et le denominateur pour elever l'indetermination et tu vas avoir:

   = lim de x tend vers 8 =((x-8)/(racine cubuque de x carre)+(2 racine de x)+4)) le tout divise par (x-46)/(racine cubuque de (x+19) au carre)+(3 racine de (x-19))+9)
    Apres avoir divise tu auras:

    = lim de x tend vers 8 = (x-8)(3 (racine de (x-19)+9)) le tout divise par (racine cubuque de( x carre))+(2 (racine cubique de x)+4))( (x-46)
    J'ai multiplie le premier par deuxieme renverse
Alors quand tu as ca tu rempace x par 8 apres l'avoir remplacer tu auras alors 0
Fais le tu vas voir!!!!!!!!!!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 13:19

Oui carpediem ; j'ai voulu tenir compte de ce que ThierBii a tenté.
C'est d'ailleurs aussi simple.

Non Mirindi, et d'où sort le x-46 ?

Posté par
ThierBiire : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 23:12

C bon j'avais commis un petit erreur dans mon raisonnement faute d'inattention ms c bon la réponse est 9/4

Posté par
jsvdbre : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 23:36

Bonjour,
Eventuellement, de façon plus marginale, penser aux DL avec la formule f(x) = f(8) + f'(8).(x-8) + o(x-8) quand x tend vers 8
Au voisinage de x = 8 on a :

x^{1/3} - 2 = \dfrac{x-8}{12} + o(x-8)

(x+19)^{1/3} -3 = \dfrac{x-8}{27} + o(x-8)   d'où

\dfrac{x^{1/3} - 2}{(x+19)^{1/3} -3} = \dfrac{\frac{x-8}{12} + o(x-8)}{\frac{x-8}{27} + o(x-8) }

D'où la limite \dfrac{27}{12} = \dfrac{9}{4} quand x tend vers 8.

cela rejoint évidemment la méthode par la reconnaissance des taux de variations évoqués par notre carpi national

Posté par
Razesre : Calcul de limite avec racine cubique 08-12-17 à 00:03

Bonsoir,

Méthode identité remarquable:

a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)
\lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x} -2}{\sqrt[3]{x+ 19} -3}=\lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{x+ 19} -\sqrt[3]{27}}=\lim_{x\to 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}^{2}+2\sqrt[3]{x}+4}\times \frac{\sqrt[3]{x+19}^{2}+3\sqrt[3]{x+19}+9}{x+19-27}=\frac{3^{2}+3\times 3+9}{2^{2}+2\times 2+4}=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}


Méthode Hôpital:
f(x)=\sqrt[3]{x}-2=x^{\frac{1}{3}}-2;f'(x)=\sqrt[3]{x}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}};f(8)=0 \\ g(x)=\sqrt[3]{x+ 19} -3=(x+ 19)^{\frac{1}{3}}-3;g'(x)=\frac{1}{3}(x+ 19)^{-\frac{2}{3}};g(8)=0\\ \\ \lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x} -2}{\sqrt[3]{x+ 19} -3}=\frac{f'(8)}{g'(8)}=\left (\frac{8}{27}\right )^{-\frac{2}{3}}=\frac{9}{4}

Posté par
etniopalre : Calcul de limite avec racine cubique 08-12-17 à 01:01

Niveau licence  on doit savoir qu'au voisinage de 0 on a , pour tout réel a non nul ,  :  (1 + t)a - 1 \sim at .

Si N(x) = x1/3 - 2 on a N(8 + 8t) = 2((1 + t)1/3 - 1) \sim  2t/3
et si D(x) = (x + 19)1/3 - 3   ,  D(8 + 8t) =  3 ((1 + 8t/27)1/3 - 1) \sim 8t/27 .

On a donc  N(8 + 8t)/ D(8 + 8t) \sim (2/3)(8/27) = 9/4 ce qui prouve que N(x)/D(x)  tend vers 9/4 quand x tend vers 8

Posté par
Mirindire : Calcul de limite avec racine cubique 08-12-17 à 23:21

Je m'etais trompé ! La reponse est 9/4 lorsque x tend vers 8

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Calcul de limite avec racine cubique 09-12-17 à 06:34

Mieux vaut tard que jamais

Posté par
bintoutallre : Calcul de limite avec racine cubique 10-09-19 à 15:40

Bonsoir on m'a donné cet même exercice et je suis bloquée après la FI quand je l'extis Sous forme de racine cubuque comment faire après pour utiliser a^3-b^3 tout en sachant que d'apres  ma compréhension j'ai x^1/3-8^1/3

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Calcul de limite avec racine cubique 10-09-19 à 17:53

Bonjour,

Pour les exposants, il y a le bouton \; X2 \; sous le rectangle zone de saisie.

Dans ton profil, le niveau est 1ère bac S. Si tu es passé en terminale, fais la modification.

Cette limite peut se traiter de différentes manières.
En 1ère ou terminale, il faut séparer en 2 l'expression ainsi : \; \frac{x^{\frac{1}{3}}-2}{x-8} \times \frac{x-8}{(x+19)^{\frac{1}{3}}-3}
x-8 \; se factorise facilement par \; x1/3-2

Pour le factoriser aussi par \; (x+19)1/3-3 \; en utilisant \; a3-b3 , il faudrait avoir \; ((x+19)1/3)3-33 .
Est-ce le cas ?


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