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Calcul de limite avec racine cubique

Posté par
ThierBii
07-12-17 à 00:13

Aidez moi chui bloqué sur un exercice
limx->8 (x1/3 -2 )/(x+ 19)1/3 -3 j'ai bien utilisé la formule (a-b) 3=(a-b) (a2+ab+b2)
Mais je ne parviens pas à continuer.

***forum modifié***

Posté par
Sylvieg
re : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 07:46

BONJOUR,
Je suppose que le  -3  fait partie du dénominateur.
Deux méthodes pour y arriver :
Poser  X = x1/3  et chercher la limite de  (X-2) / [(X3+19)1/3-3]

Ou  séparer en deux :    \frac{x^{\frac{1}{3}}-2}{x-8} \times \frac{x-8}{(x+19)^{\frac{1}{3}}-3}

Posté par
Sylvieg
re : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 07:54

Dans   \frac{x^{\frac{1}{3}}-2}{x-8} \times \frac{x-8}{(x+19)^{\frac{1}{3}}-3}   , on peut utiliser faire apparaître deux fois  a3-b3  =  (a-b) ( .... ) .

Posté par
Sylvieg
re : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 07:56

Une morceau de phrase en trop : "faire apparaître" ou "utiliser".

Posté par
Mirindi
re : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 11:07

Bonjour,
Premierement tu dois transforme cette fonction dans la foction racine qui devient alors:
  
    lim┬(x→8)⁡〖(∛x-2)/(∛(x+19)-3)〗
   Las si remplace x par 8 tu auras une forme indetermine alors pour elever l'indermination  vous utilisez  cette formule  a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2) sur le numerateur et le denominateur ensuite vous allez avoir: =lim┬(x→8) □(□(□((x-8)/(∛(x^2 )+2∛x+4))/□((x-46)/(∛((x+19)^2 )+3∛(x+19)+9))))

              =lim┬(x→8) □((x-8)/((∛(x^2 )+2∛x+4))×□(((∛((x+19)^2 )+3∛(x+19)+9))/(x-46)))

       Alors la bas vous remplacez x par 8 la fontion devient alors:

       =lim┬(x→8) □((8-8)/((∛(8^2 )+2∛8+4)))×□(((∛((8+19)^2 )+3∛(8+19)+9))/(8-46))=□((0×379)/12)=□(0/12)=0

    Donc: lim┬(x→8)⁡□((∛x-2)/(∛(x+19)-3)) =0
          
          

Posté par
Sylvieg
re : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 11:46

Bonjour Mirindi,
Difficile de lire ton message.
La limite n'est pas  0 .

Posté par
carpediem
re : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 12:21

salut

\dfrac {\sqrt[3] x - 2} {\sqrt[3] {x + 19} - 3} = \dfrac {\sqrt[3] x - \sqrt[3] 8} {x - 8} \times \dfrac {x - 8} {\sqrt[3] {x + 19} - \sqrt[3] {8 + 19}}

on reconnait alors deux taux de variation ...




et pas le bon forum ...

Posté par
Mirindi
re : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 12:49

Bonjour,
  C'est 0
   Parceque quand tu prends limite de x tend vers 8 tu vas avoir une forme indetermine et puis tu vas elever cette indetermination en utilisant: a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)
  Etape 1: tu transforme la question en fonction racine                                                                                                                                                                                                                                        =             =lim de x tend vers 8 =((race cubuque de x)-2) le tout divise par ( racine cubuque de x+19)-3
Etape 2: la tu ulitises cette formule :  a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)  sur le numerateur et le denominateur pour elever l'indetermination et tu vas avoir:

   = lim de x tend vers 8 =((x-8)/(racine cubuque de x carre)+(2 racine de x)+4)) le tout divise par (x-46)/(racine cubuque de (x+19) au carre)+(3 racine de (x-19))+9)
    Apres avoir divise tu auras:

    = lim de x tend vers 8 = (x-8)(3 (racine de (x-19)+9)) le tout divise par (racine cubuque de( x carre))+(2 (racine cubique de x)+4))( (x-46)
    J'ai multiplie le premier par deuxieme renverse
Alors quand tu as ca tu rempace x par 8 apres l'avoir remplacer tu auras alors 0
Fais le tu vas voir!!!!!!!!!!

Posté par
Sylvieg
re : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 13:19

Oui carpediem ; j'ai voulu tenir compte de ce que ThierBii a tenté.
C'est d'ailleurs aussi simple.

Non Mirindi, et d'où sort le  x-46 ?

Posté par
ThierBii
re : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 23:12

C bon j'avais commis un petit erreur dans mon raisonnement faute d'inattention ms c bon la réponse est 9/4

Posté par
jsvdb
re : Calcul de limite avec racine cubique 07-12-17 à 23:36

Bonjour,
Eventuellement, de façon plus marginale, penser aux DL avec la formule f(x) = f(8) + f'(8).(x-8) + o(x-8) quand x tend vers 8
Au voisinage de x = 8 on a :

x^{1/3} - 2 = \dfrac{x-8}{12} + o(x-8)

(x+19)^{1/3} -3 = \dfrac{x-8}{27} + o(x-8)   d'où

\dfrac{x^{1/3} - 2}{(x+19)^{1/3} -3} = \dfrac{\frac{x-8}{12} + o(x-8)}{\frac{x-8}{27} + o(x-8) }

D'où la limite \dfrac{27}{12} = \dfrac{9}{4} quand x tend vers 8.

cela rejoint évidemment la méthode par la reconnaissance des taux de variations évoqués par notre carpi national

Posté par
Razes
re : Calcul de limite avec racine cubique 08-12-17 à 00:03

Bonsoir,

Méthode identité remarquable:

a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)
\lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x} -2}{\sqrt[3]{x+ 19} -3}=\lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{x+ 19} -\sqrt[3]{27}}=\lim_{x\to 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}^{2}+2\sqrt[3]{x}+4}\times \frac{\sqrt[3]{x+19}^{2}+3\sqrt[3]{x+19}+9}{x+19-27}=\frac{3^{2}+3\times 3+9}{2^{2}+2\times 2+4}=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}


Méthode Hôpital:
f(x)=\sqrt[3]{x}-2=x^{\frac{1}{3}}-2;f'(x)=\sqrt[3]{x}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}};f(8)=0
 \\ g(x)=\sqrt[3]{x+ 19} -3=(x+ 19)^{\frac{1}{3}}-3;g'(x)=\frac{1}{3}(x+ 19)^{-\frac{2}{3}};g(8)=0\\
 \\ \lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x} -2}{\sqrt[3]{x+ 19} -3}=\frac{f'(8)}{g'(8)}=\left (\frac{8}{27}\right )^{-\frac{2}{3}}=\frac{9}{4}

Posté par
etniopal
re : Calcul de limite avec racine cubique 08-12-17 à 01:01

Niveau licence  on doit savoir qu'au voisinage de 0 on a , pour tout réel a non nul ,  :  (1 + t)a - 1 \sim at .

Si N(x) = x1/3 - 2 on a N(8 + 8t) = 2((1 + t)1/3 - 1) \sim  2t/3
et si D(x) = (x + 19)1/3 - 3   ,  D(8 + 8t) =  3 ((1 + 8t/27)1/3 - 1) \sim 8t/27 .

On a donc  N(8 + 8t)/ D(8 + 8t) \sim (2/3)(8/27) = 9/4 ce qui prouve que N(x)/D(x)  tend vers 9/4 quand x tend vers 8

Posté par
Mirindi
re : Calcul de limite avec racine cubique 08-12-17 à 23:21

Je m'etais trompé ! La reponse est 9/4 lorsque x tend vers 8

Posté par
Sylvieg
re : Calcul de limite avec racine cubique 09-12-17 à 06:34

Mieux vaut tard que jamais  

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