Niveau Préparation CRPE

Calcul de limites

Posté par
bouchaib 15-10-25 à 11:45

Bonjour,

$\lim_{x\rightarrow}\frac{\sqrt[3]{3x-1}-\sqrt{x+1}}{x-3}=0/0$
Don forme indéterminée.
Pour lever l'indétermination :
On remarque que ${\sqrt{x+1}$ est continue en 3, sa limite est égale à 2 .
Donc on remplace $\sqrt{x+1}$ Dans $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt[3]{3x-1}-2}{x-3}=\frac{3}{\sqrt[3]{3x-1}^2 +2\sqrt[3]{3x-1}+2^2}=1/4$
Merci de me corriger.

Posté par re : Calcul de limites 15-10-25 à 13:26

Bonjour,

C'est faux.

Je présume que c'est la limite pour x --> 3.

forme indéterminée 0/0 --> on applique la règle de Lhospital.

= lim(x-->3) [((3x-1)^(-2/3) - (1/2)(4)^(-1/2))/1] = 8^(-2/3) - (1/2)*4^(-1/2) = 1/4 - 1/4 = 0

Si la règle de Lhospital n'a pas été enseignée ... il faut faire autrement, mais le résultat doit évidemment rester le même.

Posté par re : Calcul de limites 15-10-25 à 13:49

Merci

Posté par re : Calcul de limites 15-10-25 à 14:29

Rebbonjour,

Autre approche (avec des DL)

(3x-1)^(1/3) = 2 + (x-3)/4 - (1/32).(x-3)² + O(x-3)³

(x+1)^(1/2) = 2 + (x-3)/4 - (1/64).(x-3)² + O(x-3)³

lim(x-->3) [((3x-1)^(1/3) - (x+1)^(1/2))/(x+3)]
= lim(x-->3) [(1/64) (x-3)²/(x-3)]
= lim(x-->3) [(1/64) (x-3)] = 0

Posté par re : Calcul de limites 15-10-25 à 15:16

Bonjour,
Cette limite peut être déterminée au niveau lycée :
C' est la valeur de $f'(3)$ de la fonction $f\,:\,x\mapsto \sqrt[3]{3x-1}-\sqrt{x+1}$ définie et dérivable en $3$
On a: $f'(x)= \dfrac{1}{\sqrt[3]{(3x-1)^2}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$

Posté par re : Calcul de limites 15-10-25 à 18:41

Merci beaucoup.
J'ai opté pour l'ajout de -2+2 au numérateur, puis je sépare le rapport en deux fraction et je rend rationel l les 2 numérateurs . J'obtiens à la fin une limite ěgale à 0.
Merci encore.

Posté par re : Calcul de limites 16-10-25 à 09:50

bouchaib @ 15-10-2025 à 18:41

Merci beaucoup.
J'ai opté pour l'ajout de -2+2 au numérateur, puis je sépare le rapport en deux fraction et je rend rationel l les 2 numérateurs . J'obtiens à la fin une limite ěgale à 0.
Merci encore.

Bonjour,

Tu aurais du écrire sur le site tout ce que tu as fait.
On aurait alors pu juger si c'était ou non exact.

Quand je vois la simple explication du message du 15-10-25 à 18:41, j'ai quelques doutes.

Posté par re : Calcul de limites 18-10-25 à 12:25

Bonjour,
Je n'ai quasiment aucun doute sur les méthodes employées par bouchaib; il a probablement écrit :

$\dfrac{\sqrt[3]{3x-1}-2}{x-3}=\dfrac{(\sqrt[3]{3x-1}-2)(\sqrt[3]{(3x-1)^2}+2\sqrt[3]{3x-1}+4)}{(x-3)(\sqrt[3]{(3x-1)^2}+2\sqrt[3]{3x-1}+4)}=\dfrac{3(x-3)}{(x-3)(\sqrt[3]{(3x-1)^2}+2\sqrt[3]{3x-1}+4)}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{(3x-1)^2}+2\sqrt[3]{3x-1}+4}$

Même chose avec : $\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}$