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calcul de primitive

Posté par drogba (invité) 08-12-05 à 18:16

bonjour a tous je voudrais savoir comment vous calculer les primitives suivantes:

1/(4-5sinx)
sinx/(1+sinx)
1/(cosx)^4

merci d'avance

Posté par re : calcul de primitive 08-12-05 à 19:11

Une méthode courante pour intégrer ce genre de fonctions trigonométriques est de faire le changement de variable :
t = tg(x/2)
Mais ne pas croire que c'est la panacée universelle : il y a parfois plus simple à trouver...

Posté par drogba (invité)primitive 17-12-05 à 03:41

bonjour a tous . pourriez-vous m'aider a calculer la primitive de la fonction suivante:
1/(4-5sinx)

merci d'avance.

*** message déplacé ***

Posté par re : primitive 17-12-05 à 08:32

Faire le changement t=tg(x/2)
(souvent utile pour intégrer des expressions trigonométriques)

*** message déplacé ***

Posté par re : calcul de primitive 17-12-05 à 11:01

Suivre la consigne de JJa.

$\int\ \frac{dx}{4-5sin(x)}\ dx$

Poser tg(x/2) = t
on arrive à: sin(x) = 2t/(1+t²)
dx = [2/(1+t²)] dt

$\frac{dx}{4-5sin(x)}\ dx = 2.\int\ \frac{dt}{(1+t^2)(4-\frac{10t}{1+t^2})}$

$= 2\int\ \frac{dt}{4t^2-10t+4} = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2-2,5t+1} = \frac{1}{2}\int\ \frac{dt}{(t-2)(t-0,5)}$
---
$\frac{1}{(t-2)(t-0,5)} = \frac{A}{t-2} + \frac{B}{t-0,5}$

On met les termes du second membre au même dénominateur et puis on identifie les coefficient de même puissance en x des 2 membres.

On arrive à une système qui résolu donne: A = 2/3 et B = -2/3.
---
On a donc:

$\frac{dx}{4-5sin(x)}\ dx = \frac{1}{3} \int\ \frac{dt}{t-2} - \frac{1}{3} \int\ \frac{dt}{t-0,5}$

$= \frac{1}{3}.ln|\frac{t-2}{t-0,5}|$

$\int\ \frac{dx}{4-5sin(x)}\ dx = \frac{1}{3}.ln|\frac{tg(x/2)-2}{tg(x/2)-0,5}|$
-----
Sauf distraction.

Posté par re : calcul de primitive 17-12-05 à 11:03

Zut, à 3 lignes de la fin de ma réponse précédente, lire:

$\int \frac{dx}{4-5sin(x)}= \frac{1}{3} \int\ \frac{dt}{t-2} - \frac{1}{3} \int\ \frac{dt}{t-0,5}$

Posté par re : calcul de primitive 17-12-05 à 11:03

Erreur similaire un peu avant.

Posté par re : calcul de primitive 17-12-05 à 11:14

$\int\ \frac{dx}{cos^4(x)}\ dx$

Poser tg(x) = t

dx/cos²(x) = dt

(1+tg²(x)) = 1/cos²(x) = 1+t²

$\int\ \frac{dx}{cos^4(x)}\ dx = \int\ (1+t^2)\ dt = t + \frac{t^3}{3}$

$\int\ \frac{dx}{cos^4(x)}\ dx = tg(x) + \frac{tg^3(x)}{3}$
-----
Sauf distraction.

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