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calcul de primitives par technique de substitution

Posté par julse (invité) 24-11-04 à 16:41

bonjour, g un gros problem je n'arrive pas a comprendre comment on fait. on me demande de calculer par la technique de substitution toutes les primitives de 1/1+3x² sur si quelq'un pouvait m'expliquer ça clairement ce serait gentil. je vous remercie d'avance

Posté par
Nightmarere : calcul de primitives par technique de substitution 24-11-04 à 17:15

Bonjour

\int \frac{dx}{1+3x^{2}}=\int \frac{dx}{3(\frac{1}{3}+x^{2})}
\int \frac{dx}{1+3x^{2}}=\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\frac{1}{3}+x^{2}}

En posant le changement de variable :
x=\frac{1}{\sqrt{3}}tan(u)\Longrightarrow dx=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+tan^{2}(u))

On a :
\frac{1}{3}+x^{2}=\frac{1}{3}+(\frac{1}{\sqrt{3}}tan(u))^2
\frac{1}{3}+x^{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}tan^{2}(u)
\frac{1}{3}+x^{2}=\frac{1}{3}(1+tan^{2}(u))

On en déduit :
\int \frac{dx}{1+3x^{2}}=\frac{1}{3}\int \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}(1+tan^{2}(u))du}{\frac{1}{3}(1+tan^{2}(u))}
\int \frac{dx}{1+3x^{2}}=\frac{1}{3}\int \frac{3}{\sqrt{3}} du
\int \frac{dx}{1+3x^{2}}=\frac{1}{3}\times\frac{3}{\sqrt{3}}u
\int \frac{dx}{1+3x^{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}u

Or :
x=\frac{1}{\sqrt{3}}tan(u) donc :
u=arctan(\sqrt{3}x)

On en déduit :
\int \frac{dx}{1+3x^{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}arctan(\sqrt{3}x)

Posté par julse (invité)re : calcul de primitives par technique de substitution 25-11-04 à 13:10

ok je pense avoir a peu près compris mais si on a x/1+x² ca donne quoi? dx=x ou bien j'ai rien compris?
merci d'avance

Posté par
Nightmarere : calcul de primitives par technique de substitution 25-11-04 à 16:58

Je n'ai pas trés bien saisi ta question ...

Que veut tu savoir ? ce que représente le dx ??


Jord


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