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calcul de proba

Posté par lizoulette (invité) 17-04-06 à 17:24

Bonjour, j'ai un petit problème de calcul...
On suppose que 100 billets, parmi les 10000 vendus lors d'une loterie, sont gagnants. On achète n billets. Combien faut-il acheter de billets pour avoir au moins 1 chance sur 2 d'avoir au moins 1 billet gagnant?

J'ai calculé la proba d'avoir au moins 1 billet gagnant, c'est:
P(A)=1-\frac{(9900!)^2100!}{(9900-n)!n!10000!}
Il "suffit" maintenant de résoudre l'inégalité P(A)>=1/2 mais je n'arrive qu'aux calculs monstrueux... Peut être existe-il des astuces???

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de proba 17-04-06 à 17:37

Bonjour,

Ta formule me semble fausse.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de proba 17-04-06 à 17:41

Je peux me tromper, mais je dirais :

3$\mathbb{P}(\textrm{au moins un gagnant})=1-\frac{{100 \choose n}}{{1000\choose n}}

Posté par
stokastikre : calcul de proba 17-04-06 à 18:08


Moi je dirais, à condition que n plus petit que 100 :  

P(aucun billet gagnant) = \frac{900}{1000}\times\frac{899}{999}\times\ldots\times\frac{901-n}{1001-n}

... mais je peux me tromper aussi...

Posté par
stokastikre : calcul de proba 17-04-06 à 18:10


Nicolas c'est 900 et pas 100 dans le coefficient binomial de ton numérateur.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de proba 17-04-06 à 18:11

Je me suis en effet planté :
3$\mathbb{P}(\textrm{au moins un gagnant})=1-\frac{{900 \choose n}}{{1000\choose n}}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de proba 17-04-06 à 18:11

Merci, Stokastik.

Posté par
stokastikre : calcul de proba 17-04-06 à 18:16


Ouais c'est bien ça :

P(au moins 1 gagnant)=1-\frac{C_{900}^n}{C_{1000}^n}=1-\frac{900}{1000}\times\frac{899}{999}\ldots\times\frac{901-n}{1001-n}

La deuxième écriture te permet de trouver n facilement avec une calculatrice pour que ce soit >1/2.

Nicolas comment fais-tu pour écrire les coefficients binomiaux "modernes" ?

Posté par
stokastikre : calcul de proba 17-04-06 à 18:18


Gggrrr Nicolas c'est pas 1000 dans l'énoncé mais 10000 !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de proba 17-04-06 à 18:19

{n\choose p} : 3${n\choose p}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de proba 17-04-06 à 18:20

Je crois que je ne pourrais pas faire plus d'erreurs. Sauf peut-être si mon "1-" est faux.

Tu sais que tu peux accéder à n'importe quel code LaTeX déjà posté, par clic droit / Propriétés ? (c'est J-P m'a montré un jour)

Posté par
stokastikre : calcul de proba 17-04-06 à 18:48


Tu sais que tu peux accéder à n'importe quel code LaTeX déjà posté, par clic droit / Propriétés ?

Wwwwwwaaaaahhhhhhh!! Je savais pas !! Combien de fois le copier-coller m'a manqué sur ce site!!!!

Posté par lizoulette (invité)re : calcul de proba 17-04-06 à 19:03

Bonsoir,
moi, j'ai une proba différente des vôtres:
P(A)=1-\frac{{9900\choose n}}{{10000\choose 100}}
Pourquoi vous avez P(A)=1-\frac{{9900\choose n}}{{10000\choose n}} ?

Posté par
stokastikre : calcul de proba 17-04-06 à 19:07


Le nombre de tirages possibles c'est n parmi 10000

Le nombre de tirages b'ayant aucun numéro gagnant c'est n parmi 9900

Posté par lizoulette (invité)re : calcul de proba 17-04-06 à 19:20

oui, je suis tout à fait d'accord avec vous. Je suis désolée, je me suis trompée dans mon écriture dès le début...
Merci bien pour toutes vos réponses et passez une bonne soirée

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de proba 18-04-06 à 03:47

Je ne vois comment résoudre autrement que numériquement.

En posant \fbox{u_n=\frac{{9900\choose n}}{{10000\choose n}}}, on a à résoudre : \fbox{u_n\le\frac{1}{2}}

(u_n)_{0\le n\le 9900} est décroissante de 1 à \frac{1}{{10000\choose 9900}}<\frac{1}{2}

u_n peut se mettre sous la forme :
u_n=\Bigprod_{i=0}^{n-1}\left(1-\frac{100}{10000-i}\right)

Cette expression est digérable par nos calculatrices ou logiciels préférés.

Je trouve : \blue\fbox{n\ge 69}

A vérifier, j'ai fait cela vite.

Nicolas

PS - Stokastik >> (j'ai eu la même réaction que toi quand je l'ai découvert)


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