Salut !


et bien si z n'est pas dans Z, sin(z*Pi) est non nul, donc la fonction est bien holomorphe au voisinage de z.

maintenant pour les z dans Z, il faut faire un dévelopement de Laurent : on pose z=k+h, avec k dans Z

sin(z*Pi)=(-1)^k.sin(h.pi)=(-1)^k*(h.Pi+O(h^2))

donc 1/sin(z.Pi) =(-1)^k/(hPi) * 1/(1+O(h)) = (-1)^k/(hPi)+O(1)

donc la fonction à bien un pole d'ordre 1 (et de résidu (-1)^k/Pi ) en k pour k appartenant a Z...

Mais je suis persuadé qu'on à déja du te dire, que si f a un zéro d'ordre 1 en z, alors 1/f à un pole d'ordre 1 et de résidu 1/f'(z) en z...

Oui je sais que si la fonction a un zéro d'ordre 1, alors 1/ la fonction a un pole d'ordre 1. Mais je ne voyais pas comment montrer que la fonction sin(pi*z) avais des poles d'ordre 1 en z appartenant à Z.

Quelq'un m'a donné un idée pour le montrer, il suffit de prendre la dérivée de sin(pi*z) et de montrer qu'elle ne s'annule pas pour les points de z

Merci pour ta méthode par la série de Laurent Ksilver