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Calcul de sinus

Posté par
lolahum2
07-08-18 à 18:42

Bonjour à tous,

J'ai un exercice de révisions de lycée, cependant le professeur n'a pas renseigné la réponse de l'exercice donc j'aimerais savoir si j'ai bien procédé

Voici l'énoncé :

Soient x et y deux réels appartenant à [0;\frac{\Pi }{2}] tels que \cos(x)=\frac{3}{5} et \sin(x)=\frac{1}{3}
Calculer \sin(2x-y).

Ce que j'ai fait :

J'ai d'abord utilisé la formule d'addition :

\sin(2x-y)=\sin(2x)\times\cos(y) - sin(y)\timescos(2x)

J'ai ensuite réduit avec les données que je connaissais puis j'ai utilisé les formules de duplication :

= \frac{1}{3} \sin(2x) - \sin(y) \cos(2x)

= \frac{1}{3}\times 2 \sin(x) \cos(x) - \sin(y)(\cos²(x) - \sin²(x))  

= \frac{6}{15} \sin(x) - \sin(y) (\frac{9}{25} - \sin²(x))

J'ai ensuite calculé  \sin (x) et  \sin (y) avec la formule   \cos ²(a)+\sin ²(a)=1

J'ai trouvé \sin (x)=\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} et \sin ²(y)=\frac{8}{9} donc \sin (y)=\frac{\sqrt{8}}{3}

En remplaçant dans l'expression je trouve donc :

\sin (2x-y)=\frac{6}{15} \times \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{8}}{3}\times (\frac{9}{25}-\frac{16}{25})
 \\  \sin (2x-y)=\frac{24+14\sqrt{2}}{75}

Cependant je ne suis pas sûre du résultat...
Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
carpediem
re : Calcul de sinus 07-08-18 à 19:10

salut

pb d'énoncé : tu nous donnes des info sur x ... mais pas sur y ...

Posté par
lolahum2
re : Calcul de sinus 07-08-18 à 19:18

Ah oui excusez-moi

Le bon énoncé est :

Soient x et y deux réels appartenant à [0;\frac{\Pi }{2}] tels que \cos(x)=\frac{3}{5} et \red\cos(y)=\frac{1}{3}
Calculer \sin(2x-y).

Posté par
carpediem
re : Calcul de sinus 07-08-18 à 19:24

alors par exemple :

x^2 - a = 0 \iff ...

donc \sin^2 x = \dfrac {16} {25} \cancel \iff \sin x = \dfrac 4 5 ... à moins de justifier pourquoi tu ne considères que la solution positive ...


\sqrt 8 = \sqrt {4 \times 2} = ...

Posté par
lolahum2
re : Calcul de sinus 07-08-18 à 19:32

Oui,  \sin^2 x = \dfrac {16} {25} \iff \sin x = \dfrac 4 5 ou \sin x = -\frac{4}{5}

Seulement x et y appartiennent à [0;\frac{\Pi }{2}] or sur cet intervalle le sinus et le cosinus sont positifs il me semble, c'est pour cela que j'ai seulement considéré la  solution positive

Posté par
lolahum2
re : Calcul de sinus 07-08-18 à 19:33

Et oui \sqrt{8}=2\sqrt{2} j'ai oublié de simplifier

Posté par
carpediem
re : Calcul de sinus 07-08-18 à 20:06

ok

ok (en fait tu l'as fait dans ton résultat final)

et le tout me semble ok aussi

Posté par
lolahum2
re : Calcul de sinus 07-08-18 à 20:15

D'accord merci beaucoup pour votre aide

Posté par
carpediem
re : Calcul de sinus 07-08-18 à 20:31

de rien



mais une remarque :

\cos 2x = 2\cos^2 x - 1  ce qui évite de calculer le sinus de x ...



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