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Calcul de somme

Posté par
angeryan 21-01-18 à 04:36

Bonjour s'il vous plaît j aimerais savoir comment calculer la  des k allant de 0 à n-1 de (k+1)*W^k avec W  une racine n ieme de l unité différente de 1

Posté par
perroquetre : Calcul de somme 21-01-18 à 06:04

Bonjour, angeryan.

On pose      f (t)= \sum_{k=0}^{n} w^kt^k

On a     f'(t) =\sum_{k=1}^p kw^k t^{k-1}=\sum_{k=0}^{p-1}(k+1)w^{k+1}t^k
Donc    \sum_{k=0}^{p-1}(k+1)w^k= \frac {1}{w}f'(1)

Par ailleurs    f (t)=\frac{1-w^{n+1}t^{n+1}}{1-tw} =\frac {1-wt^{n+1}}{1-tw}

Il ne reste plus qu'à calculer f'(1)

Posté par
carpediemre : Calcul de somme 21-01-18 à 10:41

salut

une autre façon de faire :

s = \sum_0^{n - 1}(k + 1)w^k = \sum_1^n kw^k  \begin{align}= w + w^2 + w^3 + ... + w^n \\ +  w^2 + w^3 + ... + w^n \\ +    w^3 + ... + w^n \\ +            .... \\ +        w^n \end{align} \\ \\ = \sum_{k = 1}^n w^k\sum_0^{n - k} w^j = \sum_1^n w^k \dfrac {1 - w^{n - k + 1}}{1 - w} = ...

on factorise ... et on reconnait à nouveau la somme des termes d'une suite géométrique ...


il me semble qu'on peut simplifier la méthode (classique) de perroquet :

f(t) = \sum_0^{n - 1} (k + 1)t^k = g'(t)  avec g(t) = \sum_0^n t^k

donc f(w) = g'(w)

Posté par
perroquetre : Calcul de somme 21-01-18 à 11:47

@carpediem:
La simplification que tu suggères est correcte mais elle nécessite de connaître la dérivation complexe.

Posté par
angeryanre : Calcul de somme 21-01-18 à 12:00

Merci pour vos réponses 😀

Posté par
carpediemre : Calcul de somme 21-01-18 à 12:09

perroquet : effectivement !!

merci

Posté par
angeryanre : Calcul de somme 21-01-18 à 23:06

perroquet
S il te plait j ai lu dans un livre que le résultat est des k allant de 1 à n de k mais je sais pas comment trouver ce résultat a partir de f(1)

Posté par
perroquetre : Calcul de somme 21-01-18 à 23:53

Je ne comprends pas la question qui est posée et ce que je vais écrire ne correspond pas forcément à ta demande.  Si c'est le cas, il faudra reformuler ta question très précisément.

Il y a une erreur dans mon post de 6h04.
Chaque fois qu'il y a un p dans mes égalités concernant f'(t), il faut remplacer ce p par n.

Pour calculer f'(1), on prend l'expression de f (t) que j'ai donnée  (celle qui est le quotient de deux  polynômes). On calcule f'(t) et on pose ensuite t=1.

Posté par
lakere : Calcul de somme 22-01-18 à 15:32

Bonjour,

Avec S_n=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)w^k, on peut montrer (après coup avec le résultat sous le nez) que:

   (w-1)S_n=n

Posté par
jandri Correcteurre : Calcul de somme 24-01-18 à 10:21

Bonjour,

@ lake
La méthode que tu proposes est la pus rapide.
On peut y penser sachant que la somme des \omega^k donne une fraction avec 1-\omega au dénominateur.

@ carpediem et perroquet
La simplification proposée par carpediem ne nécessite pas de connaître la dérivation complexe.
En effet, une fois qu'on a calculé f(t)=g'(t) comme quotient de deux polynômes (pour une variable réelle t), on a une égalité entre fractions (ou entre polynômes) et on peut remplacer t par un nombre complexe.

Posté par
perroquetre : Calcul de somme 24-01-18 à 11:51

Merci @lake pour sa méthode : j'avais cherché mais je n'avais pas trouvé.

Merci @jandri d'avoir précisé ma réponse @carpediem: je le savais  (c'est facile à dire a posteriori ) mais j'ai eu la paresse de l'écrire .

Posté par
angeryanre : Calcul de somme 24-01-18 à 12:54

Merci pour vos réponses


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