Niveau maths spé

Calcul de somme cos(nx)/n et sin(nx)/n

Posté par
janeo 06-02-11 à 15:29

Bonjour,

Je dois calculer pour x dans ]0,Pi[ les séries de termes généraux respectifs cos(nx)/n et sin(nx)/n pour n>=1.

Pour trouver la valeur de manière non rigoureuse j'ai calculé formellement la somme des exp(inx)/n que je dis égale à -ln(1-exp(ix)). 1-exp(ix) = 2sin(x/2)exp(i(x-Pi)/2) donc j'en déduis en utilisant illicitement le logarithme complexe que la somme des cos/n vaut -ln(2sin(x/2)) et celle des sin/n (Pi-x)/2 (identification parties réelle/imaginaire).

Ensuite je prolonge par imparité puis 2Pi périodicité (Pi-x)/2 et je montre que les coefficients réels de Fourier du sinus valent 1/n. Le théorème de Dirichlet me donne alors la convergence et la valeur de la série de terme général sin(nx)/n pour x dans ]0,Pi[.

En revanche pour cos(nx)/n, ln(2sin(x/2) diverge en 0 donc je n'arrive pas à conclure. Merci d'avance de votre aide !

Posté par re : Calcul de somme cos(nx)/n et sin(nx)/n 06-02-11 à 17:15

Bonjour,

Effectivement, c'est pas bien rigoureux dit comme ca.
Par contre, c'est une bonne idée de passer par Fourier avec la fonction impaire, 2pi-périodique f(x)=(Pi-x)/2 sur ]0,Pi[.
f est $3$ \mathcal{C}^{\infty}$ par morceaux (et régularisée sur ]0,Pi[) donc développable en série de Fourier, ce qui te donne bien la somme des sin(nx)/n : $3$ \Bigsum_{n=1}^\infty \fr{\sin(nx)}{n}=f(x)$ sur ]0,Pi[ mais pas celle des cos(nx)/n.

Voici une autre façon de procéder pour trouver la valeur de deux séries d'un coup :
Pose la suite $3$ \rm A_n(x)=\Bigint_\pi^x(\Bigsum_{k=1}^n\exp(ikt))dt$ pour tout x dans ]0,2Pi[.
Si tu arrives à montrer que $3$ \rm A_n\rightarrow 0$ , tu en déduis très facilement les valeurs de tes séries d'un seul coup.

Posté par re : Calcul de somme cos(nx)/n et sin(nx)/n 06-02-11 à 17:18

Pardon :

Citation :
Si tu arrives à trouver la limite de $3$\rm A_n$ , tu en déduis très facilement les valeurs de tes séries d'un seul coup.

(A_n ne tend pas vers 0 bien sur)

Posté par re : Calcul de somme cos(nx)/n et sin(nx)/n 06-02-11 à 20:38

Bonjour Narhm et janeo ,

On peut aussi considérer la série entière de la variable réelle $t$ : $5$\fbox{\sum_{n\ge1}\displaystyle\frac{e^{inx}}{n}t^n}$ _{sauf erreur bien entendu}

Posté par re : petite question pratique 26-02-11 à 12:23

merci beaucoup!!

*** message déplacé ***

Posté par re : Calcul de somme cos(nx)/n et sin(nx)/n 08-11-12 à 23:42

Bonjour Narhm,
comment peux tu calculer la limite de la suite A_n(x) que tu as définie plus haut?
Merci

Posté par re : Calcul de somme cos(nx)/n et sin(nx)/n 09-11-12 à 00:37

Dans les grandes lignes,

¤ Montre que $|A_n-\int_\pi^x\dfrac{e^{it}}{1-e^{it}}dt|\rightarrow 0$ en pensant aux sommes géométriques.
¤ Montre que cette dernière intégrale vaut $i\ln(\sin(\dfrac{x}{2}))-\dfrac{1}{2}(x-\pi)$ .
Pour conclure, qu'il doit falloir se souvenir que ln(2) s'écrit comme une somme alternée et ca vient tout seul normalement.