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Calcul de sommes

Posté par
Macreator 21-07-17 à 22:12

Bonsoir,

J'aurais besoin de votre aide pour le calcul des sommes suivantes :

1 - $\sum_{k=0}^{n} k$C_n^k x^{2k-n}

Je cherche un réel y tel que k = y^(-n) pour utiliser la formule du binôme, en vain.

2 - $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}

3 - $\sum_{k=1}^{n} k(k-1)$C_n^k x^{k}

Merci pour vos éclaircissements.

Posté par
larrechre : Calcul de sommes 21-07-17 à 22:33

Bonsoir,

Pour le 1/, je verrais bien écrire

$\sum_{k=0}^{n} k$C_n^k x^{2k-n}=x^{-n-2} $\sum_{k=0}^{n} k$C_n^k (x^{2})^{k+1}
etc.

Pour la 2/, commencer par décomposer en éléments simples

Posté par
larrechre : Calcul de sommes 21-07-17 à 22:41

Je rectifie

$\sum_{k=0}^{n} k$C_n^k x^{2k-n}=x^{-n+2} $\sum_{k=0}^{n} k$C_n^k (x^{2})^{k-1}

Posté par
flightre : Calcul de sommes 21-07-17 à 23:10

salut

dans la 1iere somme on peut remplacer le terme  : k.C(n,k)  par n.C(n-1,k-1)

Posté par
flightre : Calcul de sommes 21-07-17 à 23:18

avec cette simplification , je trouve pour la premiere somme :

S = n.x2-n.(1+x²)n-1

Posté par
flightre : Calcul de sommes 21-07-17 à 23:22

...verfié avec quelque valeurs de n ..ca à l'air de marcher

Posté par
flightre : Calcul de sommes 21-07-17 à 23:28

..pour la 3 ieme somme , on peut remplacer le terme k².C(n,k) par k.n.C(n-1,k-1)

Posté par
larrechre : Calcul de sommes 21-07-17 à 23:34

J'ai aussi ce résultat pour la 1/

Pour la 3/ , toujours l'idée des dérivées

$\sum_{k=1}^{n} k(k-1)$C_n^k x^{k}= x^2 $\sum_{k=2}^{n} k(k-1)$C_n^k x^{k-2}

Posté par
Macreatorre : Calcul de sommes 22-07-17 à 13:42

Merci à vous pour l'astuce,

flight : quelle formule utilisez-vous pour parvenir à (1+x²)^(n-1) question 1 ?

larrech : pour la question 3, je peux utiliser la formule des séries géométriques dérivées seconde même pour une somme partielle ?

Merci.

Posté par
Macreatorre : Calcul de sommes 22-07-17 à 13:48

Edit : pour flight, j'ai juste pas compris pourquoi 1+x² est à la puissance n-1, si c'est la formule du binôme que vous utilisez.

Posté par
carpediemre : Calcul de sommes 22-07-17 à 14:31

salut

\sum_0^n k {n \choose k} x^{2k - n} = \sum_1^n n {n - 1 \choose k - 1} x^k \dfrac 1 {x^{n - k}} = n x \sum_1^n {n - 1 \choose k - 1} x^{k - 1} \dfrac 1 {x^{n - 1 - (k - 1)}} = nx (x + \frac 1 x)^{n - 1}

...

Posté par
larrechre : Calcul de sommes 22-07-17 à 14:33

larrech : pour la question 3, je peux utiliser la formule des séries géométriques dérivées seconde même pour une somme partielle ?

Au contraire, c'est bien parce qu'il s'agit d'une somme partielle (un polynôme en fait) qu'on peut l'utiliser sans problème.

Posté par
Macreatorre : Calcul de sommes 23-07-17 à 14:30

Merci carpediem

Pour la question 3) je trouve S = \frac{2^{n-1}}{(1-x)^3}

Est-ce exact ? Merci.

Posté par
larrechre : Calcul de sommes 23-07-17 à 15:31

La somme donnée ne peut pas être infinie pour x=1. De plus il est clair qu'elle est nulle pour x=0. Ce ne peut donc être cette formule.

Posté par
Macreatorre : Calcul de sommes 23-07-17 à 20:36

Je ne connais pas dans mon cours  de formule me permettant de calculer ceci . Faut-il dériver deux fois ce polynôme ?..  Merci de m'aiguiller.

Posté par
larrechre : Calcul de sommes 23-07-17 à 21:33

On part de

(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{k}= 1 +C_n^1 x+...+C_n^k x^{k}+...+C_n^n x^{n}

On dérive une fois

n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} C_n^k k  x^{k-1}= C_n^1 +...+C_n^k k x^{k-1}+...+C_n^n n x^{n-1}

On dérive une deuxième fois

n(n-1)(1+x)^{n-2} = \sum_{k=2}^{n} C_n^k k(k-1)  x^{k-2}= C_n^2 2 +...+C_n^k k(k-1) x^{k-2}+...+C_n^n n (n-1)x^{n-2}

et au préalable on avait mis x^2 en facteur.

Posté par
Macreatorre : Calcul de sommes 23-07-17 à 22:12

Merci. Donc le résultat est x²n(n-1)(1+x)^(n-2) ? et la somme commence à 1 non ?

Posté par
larrechre : Calcul de sommes 23-07-17 à 22:21

x²n(n-1)(1+x)^(n-2) , oui.

Sommer sur k à partir de k=1 ne change  rien, car alors k-1 est nul.
Donc j'ai commencé à k=2.

Posté par
larrechre : Calcul de sommes 23-07-17 à 22:23

x²n(n-1)(1+x)^{n-2}

Posté par
Macreatorre : Calcul de sommes 23-07-17 à 22:32

Merci beaucoup pour votre aide^^


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