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Calcul de sommes

Posté par
Nerf
21-06-22 à 10:58

Bonjour svp j'ai besoin d'un coup de main. Comment calculer la somme de k²(n C k) , k allant de 0 à n. Merci.

Posté par
lake
re : Calcul de sommes 21-06-22 à 11:30

Bonjour,

Tu peux utiliser (deux fois) k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}

Posté par
Nerf
re : Calcul de sommes 21-06-22 à 12:52

J'ai pensé à le faire mais j'ai fait une première fois mais pour la seconde fois je n'arrive pas ; enfin, je ne vois pas comment ça me permettra de trouver une solution.

Posté par
GBZM
re : Calcul de sommes 21-06-22 à 13:24

Bonjour,

Tu peux interpréter \sum_k k\binom{n}{k} comme le nombre de façons de choisir une partie de \{1,\ldots,n\} et un élément dedans. Ce qui revient à choisir un élément de \{1,\ldots,n\} et une partie contenant cet élément ; ceci donne l'égalité de lake.

Maintenant, quid de \sum_k k^2 \binom{n}{k} ? Ben c'est le nombre de façons de choisir une partie de \{1,\ldots,n\} et de choisir deux fois (avec remise après la 1e fois) un élément dedans.
On peut maintenant essayer de compter ça du point de vue du couple d'éléments choisis (qui peut être formé de deux éléments distincts ou pas).

Posté par
lake
re : Calcul de sommes 21-06-22 à 13:46

Citation :
mais pour la seconde fois je n'arrive pas ;


Dans k\binom{n-1}{k-1}, on peut écrire k=(k-1)+1

Posté par
GBZM
re : Calcul de sommes 21-06-22 à 13:52

Cette décomposition revient à distinguer le cas où le second tirage est différent du premier du cas où il est égal au premier.

Posté par
Nerf
re : Calcul de sommes 21-06-22 à 14:13

Merci Lake j'ai pu aboutir au résultat.

Posté par
Nerf
re : Calcul de sommes 21-06-22 à 14:20

GBZM j'ai compris votre méthode mais le soucis c'est de pouvoir compter en utilisant votre démarche.. ça m'est un peu compliqué.

Posté par
GBZM
re : Calcul de sommes 21-06-22 à 14:35

GBZM @ 21-06-2022 à 13:24


Maintenant, quid de \sum_k k^2 \binom{n}{k} ? Ben c'est le nombre de façons de choisir une partie de \{1,\ldots,n\} et de choisir deux fois (avec remise après la 1e fois) un élément dedans.
On peut maintenant essayer de compter ça du point de vue du couple d'éléments choisis (qui peut être formé de deux éléments distincts ou pas).


Choisir d'abord un couple d'éléments distincts : n(n-1) façons de faire. Puis une partie qui les contient tous les deux : 2^{n-2}.
Choisir d'abord un couple formé de deux éléments égaux : n façons de faire. Puis une partie qui contient cet élément : 2^{n-1}.
Au total n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}=n(n+1)2^{n-2}

Autre façon : \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k=(1+x)^n
En dérivant : \sum_{k=0}^n k\binom{n}{k}x^{k-1}=n(1+x)^{n-1}
En dérivant encore : \sum_{k=0}^n k(k-1)\binom{n}{k}x^{k-2}=n(n-1)(1+x)^{n-2}
En sommant les deux dernières égalités et en faisant x = 1 :
\sum_{k=0}^n k^2\binom{n}{k}=n2^{n-1}+n(n-1)2^{n-2}=n(n+1)2^{n-2}.

Posté par
lake
re : Calcul de sommes 21-06-22 à 15:21

Bonjour GBZM?

J'aime beaucoup la méthode combinatoire mais ce n'est pas facile à "élaborer" ...

Posté par
GBZM
re : Calcul de sommes 21-06-22 à 15:28

Question d'entraînement.
Là c'est l'astuce habituelle de tableau à double entrée :
en lignes les couples d'éléments
en colonne les parties
une croix à l'intersection d'une ligne et d'une colonne quand les deux éléments du couple appartiennent à la partie.
On peut compter les croix par colonne et faire la somme, ou les compter par ligne et faire la somme



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