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calcul de sommes trigonometriques
bonsoir j'ai un probleme à resoudre avant demain et je suis perdue; Pourriez vous m'aider?
est un nombre réel et n un entier naturel.
On se propose de calculer les sommes:
Cn=1+cos 
+...+cosn et
Sn=sin + sin 2+sin n .
L'idée consisite à déterminer une forme trigonométriqu du nombre complexe Cn+iSn comme sa patie imaginaire.
Pour cela, posons u=cos +isin .
1.Expliquez pourquoi Cn+iSn= 1+u+u2+...+un.
2. Dans le cas où =2k
(k
), démontrez que Cn=n+1 et Sn=0.
3.On suppose maintenant que 
2k
a) Démontrez que 1+u+...+un= (1-un+1)/(1-u) =(1-ei(n+1))/(1-ei).
b)Mettez ei/2 en facteur dans u-1 et ei(n+1)/2 en facteur dans un+1-1 et prouvez que:
Cn+iSn=(ein/2)(sin(n+1)/2)/sin /2;
c)Déduisez-en Cn et Sn.
Merci
Bonjour
Tu as trouvé le 1) !!
Cn+iSn=cos+i sin
...
+ cos n +i sin n
Pour le 2)
cos = 1 et sin = 0
3a)
suite géométrique et formule de Moivre
3b)
u-1 = ej -1
un+1 - 1 = ej(n+1) -1
u-1 = ej/2 (
ej/2 -e-j/2)
un+1 - 1 = ej(n+1)/2(ej(n+1)/2 -e-j(n+1)/2)
Cn + i Sn = (un+1 - 1)/(u - 1)
= ej(n+1)/2(ej(n+1)/2 -e-j(n+1)/2)/(ej/2 (
ej/2 -e-j/2))
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