Niveau Maths sup

Calcul de vecteur polaire

Posté par
Kanagal 08-02-21 à 15:22

Bonjour,
Durant mon projet, un logiciel me donne des points selon des coordonnées cartésiennes X et Y.
Le point A se déplace d'un vecteur jusqu'au point B. ex: A(5;3) jusqu'à B(15;18). Comment faites vous pour calculer le vecteur entre les deux points en coordonnées polaires (Ur et Utheta)? (Desole ca fait 5 ans que j'ai pas touché à cela, je suis rouillé )

Merci beaucoup
Cordialement

Posté par re : Calcul de vecteur polaire 08-02-21 à 16:34

Je suppose que tu sais encore calculer les coordonnées cartésiennes de $\vec{AB}$

Pour tout point $(x,y)$ non nul du plan il existe un unique couple $(r,\theta)\in\mathbb{R_+^\ast}\times[0,2\pi[$ tel que $(x,y) = (r\cos\theta, r\in\theta)$ .
Mais méfie-toi, parce que si tu te mets en tête de calculer le vecteur position dans une base (tournante) $(u_r,u_\theta)$ , $\theta$ n'apparaitra dans aucune coordonnée mais il est pourtant bel et bien là (via $u_\theta$ ). D'ailleurs il réapparait quand tu dérives pour obtenir la vitesse $(\dot{r}, r\dot{\theta})$

Ceci ayant été précisé, $r$ est très facile à trouver, c'est $r^2 = x^2+y^2$ .
Pour theta, c'est plus difficile que ça en a l'air, parce qu'il faut faire des distinctions de cas, et faire bien attention à tomber dans $[0,2\pi[$ (ou dans $[-\pi,\pi[$ , ou dans l'intervalle semi-ouvert fixé de longueur $2\pi$ de ton choix).
Par exemple, si x est non nul, on a toujours $\tan(\theta) = \dfrac{y}{x}$ .
Mais tu ne peux pas prendre l'arctangente comme ça pour retrouver theta, il faut d'abord t'assurer que y/x appartient à ]-pi/2,pi/2[.
Quand x est nul c'est encore autre chose : l'angle vérifie $\cos\theta = 0$ , c'est à dire $\theta = \pi/2$ ou $3\pi/2$ (avec notre choix d'intervalle). Pour savoir lequel c'est, il faut se servir de $y = r\sin\theta$ pour dire que le sinus (qui vaut 1 ou -1) doit être de même signe que y. En clair, si y>0 c'est pi/2 et si y<0 c'est 3pi/2

Si c'est l'aspect informatique uniquement qui t'intéresse, alors je te conseille d'utiliser une fonction toute faite (qui s'appelle en général atan2) et qui fait le boulot à ta place.

Attention au fait que 0 n'a pas d'argument bien défini. En général on dit que les coordonnées de 0 sont (0,0) mais il n'y a aucune raison de prendre un angle nul en fait

Posté par re : Calcul de vecteur polaire 08-02-21 à 16:50

il faut bien-sûr lire $(x,y) = (r\cos\theta,r\sin\theta)$ .
Autre précision, c'est très inhabituel mais tu peux aussi décider de faire le rebelle et de prendre un rayon vecteur négatif et dans ce cas ça renverse toutes tes inégalités

Concernant les vecteurs $(u_r,u_\theta)$ , c'est lié, mais il y a quelques subtilités.
Déjà, la base est liée au point qu'on suit, contrairement à la base cartésienne $(u_x,u_y)$ .
Ensuite on les prend unitaires, avec $u_r$ colinéaire à $\vec{OM}$ et $u_\theta$ orthogonal à $u_r$ mais avec la subtilité que $(u_r,u_\theta)$ doit être une base directe. En pratique ça veut dire que si ton pouce (de la maint droite) suit le vecteur $u_r$ , le vecteur $u_\theta$ est dans le sens de ton index.
Ou bien encore, $u_\theta$ est dans le sens des theta croissants.
En tout ca, on a bien \vec{OM} = ru_r et certainement pas $=ru_r + \theta u_\theta$ . Ca ne serait pas homogène de toute façon

Du point de vue calcul, $u_r = \cos\theta u_x + \sin\theta u_y$ et $u_\theta = -\sin\theta u_x + \cos\theta u_y$ . Tu peux t'amuser à dériver tout ça en chaine pour trouver le marronier habituel

$d\vec{OM} = dru_r + rd\theta u_\theta$
$\vec{v} = \dot{r}u_r + r\dot{\theta}u_\theta$
$\vec{a} = (\ddot{r}- r\dot{\theta}^2 )u_r + (2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})u_\theta$

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