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Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 11:38



Je regarderai les autres méthodes, saucisson ou pas, plus tard

Posté par
lake
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 13:20

Le saucisson d'igloo est assez indigeste; on obtient:

   V=\dfrac{4}{3\sqrt{\sqrt{2}}}\,\int_0^{6\sqrt{2}}(6\sqrt{2}-z)^{\frac{3}{2}}\,\text{d}z

  qui donne toujours le même résultat

Posté par
jb2017
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 13:28

(Rappeler vous la question)
Il faut tout de même dire que finalement c'est bien une intégrale triple qui a été calculée
mais si cela ne se voit pas explicitement !!

Posté par
jb2017
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 13:29

Rappelez

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 13:50

Avez-vous pensé à la méthode parapente ? D'actualité dans ma région ce jour.

A ne pas prendre au sérieux

Posté par
jb2017
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 13:51

Là je ne comprends pas @Sylvieg  !!

Posté par
larrech
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 13:54

L'intégrale que j'ai indiquée serait donc triple ? Alors c'est à l'insu de son plein gré...

Posté par
jb2017
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 14:01

Pour toi, je ne sais  pas, je n'ai pas tout lu, il faut que je vois
mais je pense à l'intégrale simple qui a donné le volume
V =  \int {z=0}^6  aire(R_z) dz  
R_z est le fameux rectangle.  

C'est bien le théorème de Fubini appliqué à l'intégrale triple qui définit le volume V.

  

Posté par
jb2017
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 14:02

V=\int_{z=0}^6 aire(R_z) dz

C'est tout de même dommage que l'on ne puisse pas revenir sur ses fautes de frappes!!

Posté par
larrech
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 14:05

Oui, pour la méthode des tranches de saucisson, c'est vrai.

Posté par
lake
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 14:09

Citation :
Avez-vous pensé à la méthode parapente ?


Le saucissonnage de demi igloo ?

Posté par
lake
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 14:32

Ah! Je viens de "voir" le triangle rectangle isocèle de larrech qui s'appuie sur la la parabole et décrit le volume

Posté par
jb2017
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 14:33

Oui @larech tu es comme Virenque. C'est bien une intégrale triple que tu as calculée à l'insu de ton plein gré. Du moins à mon avis.

En effet ton expression   (6-z) dx dz est un élément de volume.  
Tout  se passe comme si tu avais considéré le solide comme une pomme de terre,
une face étant de forme parabolique (paramétrée par x et z.)
Tu veux faire des frites,  une frite à une longueur (6-z)  et une petite base d'aire dxdz.
le volume de la frite est donc (6-z) dx dz et tu ajoutes le tout...  


        

Posté par
lafol Moderateur
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 16:16

jb2017 @ 21-01-2018 à 14:02


C'est tout de même dommage que l'on ne puisse pas revenir sur ses fautes de frappes!!


on peut .... à condition de cliquer "Aperçu" et pas "POSTER" ....

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 18:23

@lake,
Oui, mon parapente est un demi igloo

J'ai cherché à faire du \int S(y)\; dy :

Dans le plan y = cste ,
avec 0y6 , je trouve comme aire au dessus de la parabole S(y) = (4/3)((6-y))3 .

Puis j'intègre de 0 à 6 . En multipliant par 2 , on retrouve bien le résultat. Ouf !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 18:52

Et j'ai enfin compris la méthode de larrech

Cette fois on fait du \int S(x)\; dx .

Avec Q(x;0;6) , le triangle rectangle isocèle AMQ a pour aire (6-z)2/2
z = x2 ; donc (6-x2)2/2 .

A intégrer de -6 à 6 ; puis multiplier par 2 .

Et là, on peut dire qu'il n'y a qu'une intégrale simple

Posté par
perroquet
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 19:50

Bonjour à tous.

Quelques images de la surface, obtenues avec Maple.

Je les mets en trois posts.
La première image est celle du bout de cylindre parabolique, j'ai rajouté en noir la droite d'intersection des deux plans.

Calcul de volume avec les intégrales doubles

Posté par
perroquet
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 21:21

On rajoute maintenant l'un des deux plans.

Calcul de volume avec les intégrales doubles

Calcul de volume avec les intégrales doubles

Posté par
perroquet
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 21:23

Enfin, on rajoute le deuxième plan et cela nous donne la boîte dont on cherche le volume.

Calcul de volume avec les intégrales doubles

Posté par
lake
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 21-01-18 à 22:21

Bonsoir perroquet,

  C'est beau!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 22-01-18 à 08:19



Serait-ce les fameux triangles rectangles isocèles qui apparaissent sur la dernière image ?

Posté par
lake
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 22-01-18 à 10:37

Je crois qu'il y en a deux sortes:

   Ceux de larrech en bleu avec ceci:

      

Citation :
V=2\int_{-\sqrt6}^{\sqrt6}dx\int_{x^2}^6(6-z)dz


   Ceux des images de  perroquet  en vert.

Calcul de volume avec les intégrales doubles

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 22-01-18 à 11:34

D'accord

J'ai fini par réaliser que larrech écrivait une intégrale pour l'aire d'un demi carré.
Finalement, passer par dz ou dx permet de n'utiliser qu'une seule intégrale simple.

Je tenterai plus tard de digérer le saucisson d'igloo ...

Posté par
larrech
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 22-01-18 à 14:18

Bonjour à tous et à lake et perroquet pour les représentations 3D.

"Ma" façon de calculer est décrite de façon  imagée par  jb2017 un peu plus haut.
Mon seul point de désaccord avec lui est que je prétends qu'il s'agit d'une intégrale double et qu'il soutient qu'il s'agit d'une triple "déguisée".

C'est le cas classique où, sous des hypothèses convenables, si (S) est la portion de surface z=f(x,y)\geq0 dont tous les points se projettent orthogonalement dans (D) sur le plan xOy, l'intégrale \int \int_{(D)}f(x,y) dx dy mesure le volume limité par (S), par le cylindre droit admettant (D) comme section droite, et par le plan xOy.

Je n'avais pas pensé aux triangles rectangles isocèles...

En fait c'est la même démarche que dans le plan, lorsqu'on évalue l'aire entre une portion de courbe et l'axe des x, sur un segment [a,b]et que pour ce faire, on calcule une intégrale simple (double déguisée ??).

Posté par
lake
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 27-01-18 à 13:39

Bonjour,

Un saucisson d'igloo pour Sylvieg:

Calcul de volume avec les intégrales doubles

  \large S(z)=\displaystyle{\int_{-\sqrt{6-\frac{z}{\sqrt{2}}}}^{\sqrt{6-\frac{z}{\sqrt{2}}}}}(-x^2\sqrt{2}+6\sqrt{2}-z)\,\text{d}x=\dfrac{4}{3\sqrt{\sqrt{2}}}\,(6\sqrt{2}-z)^{\frac{3}{2}}

V=\int_0^{6\sqrt{2}}S(z)\,\text{d}z=\dfrac{192\sqrt{6}}{5}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul de volume avec les intégrales doubles 27-01-18 à 22:34

Merci lake,
Encore une figure magique, qui a certainement nécessité un travail important...
J'admire particulièrement les paraboles qui deviennent des pointillés au bon endroit !
J'ai fini par réussir à comprendre. Mais dur dur
Deux difficultés pour moi :
J'ai voulu utiliser un changement de repère pour justifier que les courbes rouges et la bleue sont bien des paraboles. J'y suis arrivée laborieusement.
Ensuite, pour le calcul de S(z) , j'ai mis un certain temps à voir le lien entre \large 6\sqrt{2}-z et \sqrt{ 6-\frac{z}{\sqrt{2}}} .

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