Sans utiliser les intégrales triples je suis pas sur de pouvoir t'aider mais quelques indications utiles si tu n'as pas trop visualiser le solide E :




Pour t'aider encore à visualiser, E ressemble à un tuyau poser sur le plan Oxy aligné sur l'axe y, et coup en biseau de chaque côté.

Bonsoir,

Fais un dessin.
C'est un morceau de cylindre dont la base est un arc de parabole.
Il faut déterminer la surface de base, c'est au pire une intégrale simple.
Ensuite il me semble qu'il faut prendre la moitié du volume du cylindre (surface de base x hauteur) en utilisant les symétries de la figure.
Sauf étourderie de ma part.

Bonjour
Faire une coupe y=cste. Par exemple y=10.
Réfléchir à cette question:
Que peut-on dire dire de l'intersection de cette surface avec ce plan?

Quand on fixe z , on obtient un rectangle dont l'aire est facile à exprimer en fonction de z .
Un intégrale simple devrait donc suffire.
Sauf erreur...

Bonjour jb2017 et tous les autres,
Moi, j'ai pensé à z = constante . Mais c'est peut-être plus facile avec y

Bonjour Sylvieg
Je m'explique. D'après l'énoncé on donne un domaine E délimité (bien que le mot borné est employé) par trois  surfaces qui sont un cylindre parabolique et 2 plans.

Si je coupe cette "frontière" par un plan y=cste, comme par exemple y=10.

L'intersection de E avec le plan "y=10' est délimité par
les droites z=16, z=-4  et  z=x^2. Faire un dessin pour comprendre où je veux en venir
  

z = x² ne donne pas une droite.

Alors qu'avec par exemple z = 5 , les frontières sont toutes des droites qui forment un rectangle

C'est clair que je n'ai pas (voulu) dire que z=x^2 est une droite, même si il manque un mot à ma phrase (je n'en suis pas encore là!)
mais on voit bien le domaine délimité par ces 2 droites et cette parabole.  

Bonsoir,

Citation :
solide E borné par les surfaces et  .

Bon, je n'ai rien dit: je viens de le voir

Rebonjour
@lake ton dernier message veut-il dire que tu as compris où je voulais en venir?  
Sauf erreur de ma part, pour moi les choses sont claires et il me semble en avoir dit assez mais il me semble que je ne suis pas compris

Non jb2017, je ne vois pas du tout:

Le plan d'équation ne coupe pas le volume borné en question.

Mais je vois bien maintenant les rectangles de Sylvieg  avec les symétries qui vont avec

Bonjour les "veilles tard"
Contente que mes rectangles soient vus ; je commençais à avoir un doute et hésitais à insister après ma maladresse.
Je répète qu'ils permettent de calculer le volume avec une intégrale simple.

Oui, il y a deux symétries. Le solide E est invariant par x -x et y-y .
Ce qui donne le plan yOz et le plan xOz .
z = x² ; donc z 0 . D'où y+6 0 et 6-y 0 ; donc -6 y 6 .

Avec z = y+6 et z = 6-y on a quelque chose qui ressemble à une toile de tente canadienne :
Le faîte du toit est la droite d'équations y = 0 et z = 6 .
Le plancher a pour équation z = 0 car z 0 .
On "voit" alors que -6 y6.

Après, c'est plus difficile à concevoir : parallèlement à l'axe des y , une sorte de tuyau rentre dans la tente ; sa section avec les plans parallèle à xOz est une parabole.

En cherchant à décrire ici la chose, j'ai fini par dessiner une tente canadienne avec une parabole déformée sur un des pans obliques.
lake saurait peut-être nous faire une jolie figure ?

Bonjour Sylvieg,

  Bien reçu, mais il va me falloir un peu de temps ; pas facile pour faire quelque chose de lisible (et joli)  

Bonjour
Attention à ne pas se faire piéger par l'énoncé qui peut . "borné par par les surfaces "   cela
que E est borné (au sens mathématiques du termes) et délimité par....

Une chose est sûre c'est que la réunion des trois surfaces disons S est invariante par
les symétries planes et orthogonales x--->-x et y--->-y.  
Mais quand au raisonnement donc , et ainsi de suite... je ne suis pas d'accord.
fait partie de la frontière de E. Les points de cette surface n'ont aucune raison d'être sur une des 2 autres surfaces.
De plus cette surface délimité l'espace R^3 en 2 parties: et il faut justifier votre choix ?

Pour faire simple,  si je travaille dans R^2 et que formule l'énoncé suivant (sur le même mode que celui énoncé dans ce post)

Soit E le domaine borné par les courbes d'équation et
Bon là, il n'y a pas trop d'ambiguïté car ces courbes délimitent l'espace R^2 en 5 parties et une seules est bornée. Evidemment tout le monde va penser à cette partie là. Mais il vaut mieux un énoncé rigoureux.
Maintenant si je reprends un raisonnement comme ci-dessus ...   donc on voit bien que cela ne colle pas.

D'accord pour la différence entre frontières et intérieur de ces frontières
Je vais regarder de plus près.

Je reprends ce que j'ai dit presque au début, qui me paraît plus simple, et n'utiliser que la primitive de x².
Le volume est un morceau de cylindre de base la parabole z=x², (en fait la partie du plan xOz comprise entre la parabole et la droite z=6, dont l'aire est facile à calculer : 86 sauf étourderie), de génératrices de direction Oy, limité par les plans d'équations z=6+y et z=6-y, plans qui se coupent sur la droite z=6 du plan xOz et sont symétriques par rapport à ce plan Voila pour la "tente canadienne" de Sylvieg .
A partir de là les symétries de la figure montrent que le volume vaut la moitié du volume du cylindre de base décrite ci-dessus et de hauteur 12, ce qui fait 246, sauf encore étourderie de ma part.

La guitoune de Sylvieg et son tapis volant:

  

Une piste pour justifier z x² :
Soit P le plan d'équation z = y+6 et Q celui d'équation z = 6-y .

Les plans P et Q partagent l'espace en 4 régions.
z est majoré par 6 dans la région D définie par z < y+6 et z < 6-y .
z est minoré par -6 dans la région F définie par z > y+6 et z > 6-y .
z n'est ni minoré ni majoré dans les deux autres régions.

Avec la surface d'équation z = x² , l'espace est partagé en 2 régions :
La région K définie par z < x² et L définie par z > x² .

Avec K , z n'est ni minoré ni majoré.

Si on veut que z soit borné, il faut choisir D L .

Merci lake

@boninmi, je trouve environ 94 .
Je ne veux pas donner de valeur exacte pour que Storat travaille un peu
Mais je peux m'être trompée.
Je reprendrai après le repas. Bon appétit !

Je trouve pareil: 94.0604...

>>boninmi

   Je crois que ceci:

      

C'est le genre de dessin qui ne paye pas de mine mais qui demande pas mal de travail (avec GeoGebra)

Bonjour
Justement j'allais demander avec quoi tu as fais la figure mais mon message a disparu
Je vais clore le débat en disant que je suis d'accord avec la figure et le volume.
Mais (je crois que @Sylvieg a fini par comprendre):
Si je donné un domaine "borné"  (je n'aime pas du tout l'emploi de ce terme ici dans cette question, il est inapproprié et laisse la question ambigüe) par 3 surfaces cela ne le définit pas uniquement.
Trois surfaces génèrent souvent  plusieurs domaines, ouvert, simplement connexes bornés ou non. Même un domaine non borné (au sens mathématiques du terme) peut avoir une mesure finie et donc n'est pas exclure.      

Plus rien à reprendre, tout est dit

Bonsoir,
Pour finir, une autre guitoune :
Avec un peu d'imagination, en posant la tente canadienne sur un de ses pans, on peut remarquer que l'on a calculé le volume d'un demi igloo, un peut pointu par endroits il est vrai.
Avec toute la neige qui est tombée aujourd'hui, je pourrai envisager de le construire

bonjour
de la neige ? aujourd'hui ? ça risquait pas d'arriver ici, encore 12° à la tombée de la nuit ....

Pour parer à tout aléa météorologique:

  

On dirait la notice pour plier une tente decathlon....

Je n'avais pas osé le demander. Il l'a fait
J'espère que c'était moins compliqué que pour la première figure.

@lafol, j'y avais pensé

Bonjour à tous,

Premièrement, veuillez m'excuser pour mon absence mais j'avais énormément de travail.
Merci à tous pour vos réponses qui me sont d'une grande aide et le super dessins de lake!!
De mon côté j'ai aussi travaillé mais je ne suis pas arrivé à une réponse qui me satisfait pleinement, l'une de mes réponses me mène d'ailleurs à comme
boninmi.

Après avoir lu et gratté sur ma feuille je n'arrive pas à comprendre comment vous arrivez à cette réponde de 94.. .

Vous me parlez beaucoup de domaine et ça je le comprend, mais ensuite quelle est la fonction à intégrer ou la démarche à suivre pour résoudre ? ou du moins comment trouve t- on la fonction ?

Bien à vous,
Storat

Bon réveil !
Pour trouver le bon résultat, on peut calculer d'abord l'aire du rectangle bleu (le tapis volant) en fonction de z . Puis intégrer pour z de 0 à 6 .
Essaye d'imaginer ce tapis volant qui monte et qui descend ; presque un ascenseur, mais qui se déforme.

Bonjour à vous,

Je visualise la chose mais le truc c'est que je ne vois pas comment faire mathématiquement pour calculer l'aire de ce rectangle en fonction de z puisqu'il varie en fonction de et les deux plans ?

Storat

Tu peux calculer les coordonnées de ses sommets.

Les sommets sont les points d'intersections entre et d'une part et les points d'intersections et d'autre part.

Ce qui ferait qu'on a et ? Mais je vois pas comment exprimer les coordonnées de chaque point.

Storat

En fonction de z .

Je ne sais pas si je suis trop fatigué ou étourdi mais justement c'est ca que je ne comprend pas!
On a et donc donc soit mais tout ca ne m'avance pas.

Storat

Je poste juste la solution à laquelle j'avais pensé :

On obtient un solide symétrique par rapport au plan y=0 avec domaine d'intégration symétrique (observable en projetant le solide sur le plan (x,y).
Ce qu'on veut c'est le volume sous l'un des deux plans - le volume sous le paraboloïde que l'on multipliera par 2 --> symétrie.
On choisit une des 2 parties symétriques et on définit alors la fonction suivante à intégrer : (Méthode de l'intégration par différence).
Donc la double intégrale obtenue (avec les bornes en adéquation avec la partie choisie) est : que l'on multiplie par 2 ce qui donne .

Cette méthode ne me mène par a 94.. mais me semble pourtant cohérente.

Storat

En partant sur le même principe mais en changeant mes bornes, je trouve maintenant 94,0604!

Je n'ai pas le temps de regarder ta démarche maintenant.
Je me contente d'indiquer comment trouver les coordonnées des 4 sommets du rectangle :
z = y+6 donne y = ... .
z = 6-y donne y = ...
z = x² et z 0 donne x = ... ou x= ...

Ça donne bien 4 points, avec les coordonnées en fonction de z .

La formule à utiliser est

Bonjour,

En calculant de la sorte, vous calculez le volume d'un autre tronçon de cylindre parabolique, celui  d'équation  , entre les plans , .
Par bonheur, compte tenu de toutes les symétries il est bien égal à la moitié du volume cherché.

Il est plus simple de projeter sur le plan [tex]xOz[

Alors tout va bien ?

Pour en revenir à la méthode de Sylvieg:

   Son tapis volant en bleu sur la première figure est un rectangle symétrique par rapport aux plans et

   Donc si on tient un sommet du rectangle, on tient tous les autres.

  Considérons celui de cote fixée, , qui est dans le trièdre défini par :



Ce point a même abscisse que soit

Ce point a même ordonnée que soit

On a donc

On en déduit immédiatement les coordonnées des autres sommets par symétrie et les dimensions du rectangle donc son aire en fonction de

Reste à calculer




  

Ah! j'arrive après la bataille! Bonjour à tous!

Extrait d'une de la toute première réponse (deAalex00):

>>Sylvieg

_{On arrive  a saucissonner ton demi igloo avec des tranches paraboliques}

Bonjour lake,
Non, tu n'arrives pas après la bataille. Les points M, N et A ajoutés à ta figure sont très utiles.
Une question (facile) pour le "fun" :
Pour quelle valeur de z le tapis volant est-il le plus confortable ?
Autrement dit, quand l'aire du rectangle est-elle maximum ?

C'est vrai qu'il y a la méthode classique des tranches de saucisson...

Je suggérais  

2? (avec un tapis pour fakir en haut et en bas)