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calcul des résidus

Posté par
LERAOUL 10-06-19 à 08:49

Bonjour!
soit a un nombre complex non nul, \rho\in\mathbb{R}_{+}-{\left\{0\right\}} , et |a|\neq\rho
On pose J={\int}_{\left|z\right|=\rho}\frac{\left|dz\right|}{{\left|z-a\right|}^2}

1) Montrer que |dz|=i\rho\frac{dz}{z}
2) Montrer que \left|z-a\right|^{2}=\frac{-\left|a\right|^2}{az}(z-a)(z-\frac{{\rho}^2}{\bar{a}})
3) Calculer J
La question une est evidente mais la deuxième et troisième est difficile
de l'aide svp!

Posté par
carpediemre : calcul des résidus 10-06-19 à 09:59

salut

2/ développe le second membre ...

Posté par
LERAOULre : calcul des résidus 10-06-19 à 10:16

Je développe rien!

Posté par
Zrunre : calcul des résidus 10-06-19 à 11:09

LERAOUL @ 10-06-2019 à 10:16

Je développe rien!

Pourquoi tant d'insolence quand on te donne une indication ... Ne compte pas sur les autres membres pour t'aider si tu réagit comme ça ...

Posté par
LERAOULre : calcul des résidus 10-06-19 à 12:02

je m'excuse si tu as mal prie mon propos, je ne suis aucune insolent!  une fois de plus je m'excuse

Posté par
carpediemre : calcul des résidus 10-06-19 à 12:16

alors qu'as-tu fait ?

Posté par
LERAOULre : calcul des résidus 10-06-19 à 15:46

=\frac{-{\left|a\right|}^2}{az}\left(z-a\right)\left(z-\frac{{\rho}^2}{\bar{a}}\right) \\ =\frac{-{\left|a\right|}^2}{az}\left(z^2-z\frac{{\rho}^2}{\bar{a}}-az+a\frac{{\rho^}2}{\bar{a}}\right)\\ &=-\bar{a}z-{\rho}^2-{\left|a\right|}^2+\frac{{\rho}^2 a}{z}

Posté par
LERAOULre : calcul des résidus 10-06-19 à 15:46

sauf erreur de ma part

Posté par
LERAOULre : calcul des résidus 10-06-19 à 15:47

\frac{-{\left|a\right|}^2}{az}\left(z-a\right)\left(z-\frac{{\rho}^2}{\bar{a}}\right) =\frac{-{\left|a\right|}^2}{az}\left(z^2-z\frac{{\rho}^2}{\bar{a}}-az+a\frac{{\rho^}2}{\bar{a}}\right)\\ &=-\bar{a}z-{\rho}^2-{\left|a\right|}^2+\frac{{\rho}^2 a}{z}

Posté par
larrechre : calcul des résidus 10-06-19 à 16:08

Bonjour,

Il y a 3 erreurs de signes à la dernière ligne.

Posté par
LERAOULre : calcul des résidus 10-06-19 à 16:10

\frac{-{\left|a\right|}^2}{az}\left(z-a\right)\left(z-\frac{{\rho}^2}{\bar{a}}\right) =\frac{-{\left|a\right|}^2}{az}\left(z^2-z\frac{{\rho}^2}{\bar{a}}-az+a\frac{{\rho^}2}{\bar{a}}\right)\\ &=-\bar{a}z+{\rho}^2+{\left|a\right|}^2-\frac{{\rho}^2 a}{z}

Merci!

Posté par
carpediemre : calcul des résidus 10-06-19 à 16:19

il faut évidemment maintenant jongler avec le fait que |z| = r \iff z \bar z = r^2

et de même |a|^2 = a \bar a

et le résultat vient tout seul ...

Posté par
lemocore : calcul des résidus 10-06-19 à 16:31

Je te conseille pas de développer, plutôt de factoriser.

Posté par
LERAOULre : calcul des résidus 10-06-19 à 16:35

stp, je ne vois pas!

Posté par
LERAOULre : calcul des résidus 10-06-19 à 17:51

\frac{-{\left|a\right|}^2}{az}\left(z-a\right)\left(z-\frac{{\rho}^2}{\bar{a}}\right) \\ =\frac{-{\left|a\right|}^2}{az}\left(z^2-z\frac{{\rho}^2}{\bar{a}}-az+a\frac{{\rho^}2}{\bar{a}}\right)\\ =-\bar{a}z-{\rho}^2-{\left|a\right|}^2+\frac{{\rho}^2 a}{z}\\&={\left|a\right|}^2+{\left|z\right|}^2+a\bar{z}+\bar{a}z\\={\left|z-a\right|}^2
merci et la dernière question svp

Posté par
LERAOULre : calcul des résidus 10-06-19 à 17:54

version corrigée

\frac{-{\left|a\right|}^2}{az}\left(z-a\right)\left(z-\frac{{\rho}^2}{\bar{a}}\right) \\ =\frac{-{\left|a\right|}^2}{az}\left(z^2-z\frac{{\rho}^2}{\bar{a}}-az-a\frac{{\rho^}2}{\bar{a}}\right)\\ =-\bar{a}z+{\rho}^2+{\left|a\right|}^2-\frac{{\rho}^2 a}{z}\\&={\left|a\right|}^2+{\left|z\right|}^2-a\bar{z}-\bar{a}z\\={\left|z-a\right|}^2

merci et la dernière question!

Posté par
jsvdbre : calcul des résidus 10-06-19 à 19:07

Si tu utilises les questions 1. et 2. tu obtiens :

J = -\dfrac{ia\rho}{|a^2|}\int_{|z|=\rho}\dfrac{dz}{(z-a)(z-\frac{\rho^2}{a})}.

Ça se décompose en éléments simples et tout dépend de a et \rho

Posté par
LERAOULre : calcul des résidus 10-06-19 à 22:20

Voici que j'ai trouvé après calcul

J=\frac{\pi\rho}{{\left|a\right|}^2-{\rho}^2}\left(Ind_{\gamma}\left(a\right)-Ind_\gamma}\left(\frac{{\rho}^2}{\bar{a}}\right)\right)


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