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Calcul dif et voisinage
Bonsoir !
J'essaye de comprendre la démo de cette proposition.
"Soit [a,b]
avec a<b et 
:[a,b]
E et g:[a,b] continues sur [a,b] et dérivables à droite sur ]a,b[, vérifiant que :
t
]a,b[, ||'d(t)||
g'd(t). Alors on a : ||(b)-(a)||g(b)-g(a)".
Début de la preuve :
"Soit 
>0.
On pose T={t [a,b]/||(t)-(a)||g(t)-g(a)+(1+t-a)}
On note 
=sup(T).
Comme f:t
||(t)-(a)||-g(t)+g(a)-(1+t-a) est continue ALORS TV[a,b](a). Je ne comprends pas pourquoi !
Je pense que ça vient d'une des propriétés suivantes :
1) "Soit (X,d) un espace métrique et x0X.
f est continue en x0 
Pour tout voisinage V de f(x0), f-1((V) est un voisinage de x0"
2)" Soient X,Y deux espaces métriques.
f:XY.
On a : f est continue VY ouvert, f-1(V) est un ouvert de X"
Mais V[a,b](a) c'est l'ensemble de tous les voisinages de a inclus dans [a,b] ?
Et T={t[a,b]/f(t)0}=[a,b]
f-1(-
,0])
salut
qui est E ?
et il est dommage d ene pas utiliser les espaces dans les expressions mathématiques pour les rendre plus lisibles ...
On pose T = {t
[a,b] / ||(t) - (a) || (1 + t - a)} le symbole On note
= sup(T).
Comme f : t
||(t) - (a)|| - g(t) + g(a) - (1 + t - a) est continue ALORS TV[a,b](a). Je ne comprends pas pourquoi !E est un espace vectoriel.
f:[a,b]
f-1({0})= {t [a,b]/f(t)=0}
a
f-1({0}) car f(a)=-<0.
Mais a
Or f est continue et est un ouvert de
donc est un ouvert de
.
De plus comme a T.
Il existe r>0/ B(a,r[
T.
Donc T est un voisinage de A.
Oui T est un fermé de . Par contre je ne vois pas pourquoi il contient son sup en utilisant la continuité de f et la complétude de [a,b].
Pour montrer que T atteint son sup ( c'est à dire que T) j'aurais dis :
est continue et T est un compact de
(fermé borné dans et est un e.v de dim finie) donc elle est bornée et atteint ses bornes ?
Oui T est un fermé de
. Par contre je ne vois pas pourquoi il contient son sup en utilisant la continuité de f et la complétude de [a,b].Toute partie fermée et majorée de
Si T est fermée et majorée alors il existe
Par l'une des caractérisations de la borne supérieure, il existe une suite
On sait également que si une suite d'un fermé est convergente alors la limite est dans le fermé.
Donc
Pour montrer que T atteint son sup ( c'est à dire que
T) j'aurais dis :
(fermé borné dans et est un e.v de dim finie) donc elle est bornée et atteint ses bornes ?En supposant que l'on sache qui est
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