J'ai essayé  
Φ(x+h)=A(x+h)(x+h)
                    =(A(x)+L (h)+hε(h))(x+h)
                     =A(x)x+A(x)h+L(h)x+L(h)h+hε(h)x+hε(h)h
Suis-je sur la bonne voie ?

Je remplace Φ par F .
D'autre part E est un  -ev  normé par N (de dimension quelconque ) .

Soient a   U et L la  dérivée (  différentielle ) de A au point a .
L est une application linéaire continue de E vers (donc un élément de ce qu'on note le plus souvent E ' ) .
On choisit  un réel r > 0 tel que  a + y U si N(y) < r .

Il existe donc  une application R : E telle que
1.   (y) := R(y)/N(y) 0 quand y 0  et
2. pour N(y)< r  on ait
A(a + y) = A(a)  + L(y) + R(y)  ( donc A(a + y) = A(a)  + L(y) + (y)N(y) )

Alors  , si N(y) < r on a : F(a + y) = A(a + y).(a + y) = (A(a)  + L(y) + (y)N(y) ).(a + y) = A(a).a + L(y).a + A(a).y + S(y)

Si tu montres que
1. y   L(y).a + A(a).y   est dans E'  et que
2.S(y)/N(y) 0 quand y 0

tu pourras dire que F est dérivable au point a et que F '(a)   (ou d_aF ou dF(a) ) est   la forme linéaire continue  y   L(y).a + A(a).y .

Merci Etniopal pour ton aide.

Dans ce cas est ce S(y) peut être fonction de a ?

S(y) =  F(a + y)  - [ A(a).a + L(y).a + A(a).y ]