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calcul différentiel

Posté par
termina123 10-06-22 à 19:42

Bonjour
Soit E un espace euclidien de dimension finie on note (. , .) le produit scalaire associé et f : E \rightarrow E une application de classe C^1. On suppose qu'il existe K>0 tel que pour tout (x,y)\in E^2, (f(x)-f(y),x-y)\geq K ||x-y||
Montrer que pour tout x\in E,\; (f'(x)(h),h)\geq K ||h||^2

Ce que j'ai fait :
Je pose y=x+h, avec h\in E
(f(x)-f(x+h),-h)\geq K ||h|| \Leftrightarrow (f(x+h)-f(x),h)\geq K ||h||
On sait que f est de classe C^1, f(x+h)-f(x)=Df_x(h)+||h||\epsilon (h)
On a alors (Df_x(h)+||h||\epsilon (h),h)\geq K ||h||
Et la on prend h dans un voisinage de 0 :
(Df_x(h),h)\geq K ||h||
On multiple par ||h|| et comme ||h||<1, on obtient (Df_x(h),h)\geq K ||h||^2
Je ne sais pas si le passage pour retirer ||h||\epsilon (h) est correct

Posté par
GBZMre : calcul différentiel 11-06-22 à 00:26

Bonsoir,

N'aurais-tu pas oublié un carré sur la norme à la quatrième ligne de ton message ?

Posté par
termina123re : calcul différentiel 11-06-22 à 00:45

Bonsoir,

Citation :
Montrer que pour tout x\in E,\; (f'(x)(h),h)\geq K ||h||^2

Ici ?

Posté par
GBZMre : calcul différentiel 11-06-22 à 00:47

5\neq 4

Posté par
termina123re : calcul différentiel 11-06-22 à 01:06

Pardon, sur mon ordinateur c'était la 4ème ligne
le problème est donc ici je suppose :

Citation :
(x,y)\in E^2, (f(x)-f(y),x-y)\geq K ||x-y||

Je viens de revérifier et j'ai retranscrit mot pour mot l'énoncé

Posté par
termina123re : calcul différentiel 11-06-22 à 01:17

J'ai cherché un peu sur internet et effectivement je retrouve mon énoncé mais cette fois si avec un carré sur la norme comme tu l'as remarqué

Posté par
GBZMre : calcul différentiel 11-06-22 à 06:56

Alors, avec l'énoncé correct tu y arrives mieux ?

Posté par
termina123re : calcul différentiel 13-06-22 à 14:04

Bonjour, je pense que je l'ai du coup
On pose plutôt y=x+th, t>0
On a (Df_x(th)+||th||\epsilon (th),th) \geq K ||th||^2
t^2 (Df_x(h)+||h||\epsilon (th),h) \geq K t^2 ||h||^2
(Df_x(h)+||h||\epsilon (th),h) \geq K||h||^2
On fait tendre t vers 0 et on obtient (Df_x(h),h) \geq K||h||^2


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