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calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ...

Posté par
lyonnais 17-02-05 à 14:17

Bonjour à tous.

Voila, mon frère, qui est en seconde, vient de me demander de l'aide pour un exercice de son Dm de math. D'habitude, j'arrive à lui expliquer, mais là, j'ai vraiment du mal.
Pourriez-vous m'aider ?

Alors, voila, le prof lui a donné la figure suivante, qui est inscrite dans un cube de coté a = 8cm

description :
-> nombre de sommets : 20
-> nombre d'arrête : 32
-> nombre de face : 14 .

Nature des faces : 6 carrés et 8 hexagones .

=> On nous demande de calculer le volume du polyèdre ! Comment faire ?
\rm \tiny j'ai pense calculer le volume du cube, je trouve V_{cube} = a^3 = 512 cm^3 mais je n'arrive pas la suite ...

Voila. Merci d'avance pour votre aide ...






calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ...

Posté par
lyonnaisre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 14:20

Ah oui, j'oubliais :

Si ça peut aider quelqu'un à mieux comprendre, voici comment on obtient les 6 petits carrés du polyèdre pour chaque face :





calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ...

Posté par
lyonnaisre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 15:38

personne n'a une petite idée ?  

Posté par
lyonnaisre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 16:41

toujours personne ?  

Posté par
Nightmarere : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 16:54

Salut lyonnais

Hum , sans trop être sur sur de ce que j'avance , je dirais que comme on peut le voir , le volume compris entre le cube et le polyédre est formé de pyramide a base hexagonale ( voir dessin )
Je pense qu'on pourrait donc Calculer le volume du cube (ça tu l'as déja fais , puis soustraire de ce volume les 8 volumes (égaux je pense) des pyramide . Maintenant il fau savoir comment calculer le volume de ces pyramides .. Cherchons :d

calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ...

Posté par
Nightmarere : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 16:55

Hum bon jviens de me rendre compte qu'il reste quelque parcelle qui sont pas prises dans les hexagones . Enfin c'est déja une idée de départ


Jord

Posté par
Lopezre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 16:59

Salut

cela fait un moment que je pense la même chose mais je n'arrive pas  à voir à quoi ressemble la parcelle entre les pyramides.

Posté par
lyonnaisre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 20:03

Moi non plus. C'est ça le problème.

Sinon, je pensais avoir trouvé comment calculer le volume des pyramides mais ...

Je trouve 72 cm3 pour 1 seule pyramide, ce qui est beaucoup trop ...

J'ai besoin d'aide.

S'il vous plait !

Posté par
isisstruissre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 21:46

J'ai décidé de calculer ce volume directement par le volume intérieur. Comme il y a 6 faces carrés et 8 faces hexagonales, le volume de ce icosaèdre peut être décomposé en 6 pyramides à base carrée et 8 pyramides à base hexagonale. Il ne reste plus qu'à calculer les côtés et hauteurs...

J'ai trouvé que le côté du carré (et de l'hexagone) est c=a\frac{\sqrt{2}}{4}=2\sqrt{2}. L'aire du carré est B_4=c^2=8.

La hauteur de la pyramide à base carré vaut H_4=\frac{a}{2}=4. Son volume est donc
V_4=\frac{1}{3}H_4B_4=\frac{1}{3}\frac{a}{2}c^2=\frac{32}{3}.

L'hexagone peut être décomposé en 6 triangles équilatéraux. J'ai trouvé pour la hauteur d'un de ces triangles h_6=c\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}.
L'aire de l'hexagone est B_6=6\frac{ch_6}{2}=12\sqrt{3}.

La hauteur de la pyramide à base hexagonale vaut
H_6=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{c}{2})^2-h_6^2}=2\sqrt{3}.

Son volume sera alors
V_6=\frac{1}{3}H_6B_6=\frac{1}{3}2\sqrt{3}12\sqrt{3}=24.

Le volume de l'icosaèdre est alors
V=6V_4+8V_6=256

Je trouve donc que le volume de l'icosaèdre vaut exactement la moitié du volume du cube. C'est plausible?

Isis

calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ...

Posté par
lyonnaisre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:06

voila mon raisonnement \red nightmare :

En utilisant Pythagore, je trouve :

coté du petit carré = \rm \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} cm
donc aire du carré = \rm 2\sqrt{2}\time2\sqrt{2} = 8 cm^2

les hexagones sont des hexagones réguliers, donc ils sont chacuns composés en 6 triangles équilatéraux.

D'après Pythagore, dans un triangle équilatéral

hauteur = \rm \sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2} = \sqrt{8-2} = \sqrt{6} cm

d'où l'aire d'un triangle équilatéral est égale à :

Atriangle équi = \rm \frac{2\sqrt{2}\time\sqrt{6}}{2} = \sqrt{2}\time\sqrt{6} = \sqrt{2}\time\sqrt{3}\time\sqrt{2} = 2\sqrt{3} cm^2

=> d'où aire d'1 hexagone est égale à :

Aire hexagone = 6 * Atriangle équi = \rm 6\time2\sqrt{3} = 12\sqrt{3} cm^2

il me manque donc la hauteur, pour pouvoir calculer le volume d'1 pyramide !

-> c'est là que j'ai peut-être foiré.
j'ai voulu calculer SH

\rm AH = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} cm

d'après pythagore \rm SB = \sqrt{OB^2+OS^2} = \sqrt{2^2+4^2} = 2\sqrt{5} cm

et d'après pythagore \rm SH = \sqrt{SB^2-HB^2} = \sqrt{20-(\sqrt{2})^2} = \sqrt{18} cm

donc si on prend l'hexagone et 1 triangle équilatéral de cet hexagone, on a en notant \rm OH = hauteur = \sqrt{6} et \rm SH = \sqrt{18}

D'après pythagore :

hauteurpyramide = \rm OS = \sqrt{SH^2-OH^2} = \sqrt{18-6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} cm

On en déduis donc que le volume d'1 pyramide est :

V = Airebase * h = Airebase * OS = \rm 12\sqrt{3}\time2\sqrt{3} = 42 cm^3

Le problème c'est qu'il y a 8 ptramide comme ça, plus les trous. Tu comprends maintenant que j'ai un problème.

\rm \blue \large Peux-tu aider moi a trouver mon erreur. S'il te plait, j'ai vraiment besoin de toi !

Merci d'avance ...

Posté par
Nightmarere : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:09

Je pense que la solution d'isistruiss est plus fiable que la notre lyonnais lol

Bravo à elle


Jord

Posté par
lyonnaisre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:10

ah oui la figure ...


calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ...

Posté par
lyonnaisre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:14

Merci isiss , c'est vrai que la méthode interne est plus fiable lol !

juste une petite question : comment fait tu pour trouver la hauteur de la pyramide à base hexagonale.
Parce que je trouve pareille, mais je sais pas si ma méthode est bonne.

Peux-tu m'éclairer (encore) s'il te plait ?

en tout cas : encore bravo

Posté par
isisstruissre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:16

Je suis ravie de voir que tu trouves les mêmes résultats intermédiaires que moi, lyonnais. Tu as juste oublié de diviser par 3 le volume car on est en dim 3... Puis 24*3=72 et non 42.

Isis

Posté par
lyonnaisre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:19

c'est vrai \rm V = \frac{1}{3} \time A_{base} \time hauteur j'avais oublié cette formule ...

J'abuse de ton aide, mais pour trouver la hauteur de la pyramide à base hexagonale : mon raisonnement est juste ou pas ?

Posté par
isisstruissre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:21

H_6 je trouve en utilisant 2 fois Pythagore sur les triangles de l'image ci-dessous.

Isis

calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ...

Posté par
isisstruissre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:24

Je ne sais pas où sont placés tes A,H,S,B,O, alors j'ai un peu de peine de vérifier ton raisonnement. Mais à priori tu trouves le même résultat que moi... C'est peut-être juste...

Isis

Posté par
lyonnaisre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:26

merci beaucoup :

je vais t'enbeter, mais pourrais-tu en vitesse sur la figure mettre des lettres et me donner le nom des triangles dans lesquels tu as appliquer le théorème de pythagore ( les traits ne sont pas très bien placés -> sans vouloir te vexer )

parce que c'est pour mon frère, et comme il a des difficultés en math, j'aimerais qu'il comprenne tout au maximum.

Merci encore

Posté par
lyonnaisre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:28

même surement juste ...

Pour ce qui est des points, ils sont placer sur la petite figure 5 messages au dessus ( je sais, c'est pas très visible ... )

Posté par
isisstruissre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:29

Si si ils sont bien placés. Tout en haut c'est le centre de l'icosaèdre. Le premier triangle à droite a comme catètes a/2 et c/2. Je calcule l'hypoténuse.

Le deuxième triangle à gauche je viens de calculer l'hypoténuse. Une atète vaut h_6. Et l'autre que je cherche est H6.

Est-ce qu'il faut encore une figure?

Isis

Posté par
lyonnaisre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:34

D'accord Ok. Merci beucoup. J'ai tout compris, c'est bon, je vais pouvoir faire un rapport complet à mon frère ...

En fait, j'avais utilisé exactement la même méthode, mais je voulais une confirmation.

Plus besoin de figure donc.

Encore merci de t'être penché sur mon exo.

@+

Posté par
isisstruissre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:37

Voilà le dessin. O est le centre de l'icosaèdre. X le centre de la base carrée. Y le centre de la base hexagonale. Z est au milieu de l'arête qui touche les deux bases.

J'applique Pythagore sur le triangle rouge d'abord et sur le triangle bleu ensuite.

Si tu me dis que mon raisonnement est faux je pleure toute la nuit.

Isis

calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ...

Posté par
lyonnaisre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 22:46

je crois que tu vas bien dormir alors cette nuit ...

Milles merci en tout cas ( je sais, je devient lourd à dire " merci " ) -> mais y en a tellement sur le forum qui ne nous disent même pas un merci quend on les aides, que je préfère en dire trop  lol .

Allez @+

Posté par
isisstruissre : calcul du volume du polyèdre de lord kelvin ... 17-02-05 à 23:04

Et moi je dois remercier lyonnais pout l'énigme posée. c'était très sympa..
Isis-


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