Niveau Reprise d'études

Calcul et analyse vraiment dur

Posté par
Slpok 29-12-17 à 17:13

Bonjour,

Pour quelles paires $(a, b)$ de réels positifs l'intégral impropre $\int_{b}^{+\infty}{\left(\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}}-\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}} \right)dx$ converge ?

Aucune idée de comment commencer.

Merci : )

Posté par re : Calcul et analyse vraiment dur 29-12-17 à 17:17

salut

quantité conjuguée ... puis encore quantité conjuguée ...

Posté par re : Calcul et analyse vraiment dur 29-12-17 à 17:18

Bonjour,

Comme ça en passant, j'aurais tenté la quantité conjuguée (trois fois)

Posté par re : Calcul et analyse vraiment dur 29-12-17 à 17:53

Je crois bien avoir trouvé finalement,

On utilise la notation grand O de Landau.

$\sqrt{x+a}-\sqrt{x} = x^{1/2}(\sqrt{1+a/x}-1)=x^{1/2}(1+a/2x+O(x^{-2}))$

donc,
$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}= x^{1/4}(1+a/4x+O(x^{-2}))$

et,
$\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}}= x^{1/4}(1+b/4x+O(x^{-2}))$

donc l'intégrale est :

$\int_{b}^{+\infty}{x^{1/4}((a-b)/4x+O(x^{-2})}dx$

Les calculs sont-ils bons ?

Posté par re : Calcul et analyse vraiment dur 29-12-17 à 18:15

Citation :
$\sqrt{x+a}-\sqrt{x} = x^{1/2}(\sqrt{1+a/x}-1)=x^{1/2}(\textcolor{red} {1}+a/2x+O(x^{-2}))$

Ce n'est pas plutôt : $\sqrt{x+a}-\sqrt{x} = x^{1/2}(\sqrt{1+a/x}-1)=x^{1/2}(a/2x+O(x^{-2}))$

Posté par re : Calcul et analyse vraiment dur 29-12-17 à 19:39

Bonjour,

ce n'est pas tout à fait exact.
Il faut rechercher un équivalent au voisinage de l'infini pour la fonction à intégrer en utilisant le développement limité de $\sqrt{1+t}$ .
L'ordre 1 suffit quand $a\neq b$ mais on a besoin de l'ordre 2 quand $a=b$ .