Bonjour

une factorisation de    pourrait résoudre bien des problèmes

Sous quelle forme dois-je factoriser?

c'est une somme de deux choses : trouve le facteur commun le plus grand aux deux choses

sin²xcos⁴x+cos²xsin⁴x
un facteur commun est sin²x même cos²x
=> sin²xcos⁴x+cos²xsin⁴x=cos²x(sin⁴x+sin²xcos²x)

Et sin²(x)*cos²(x) ? Ce n'est pas un facteur commun ?

si, c'est un facteur commun aussi:
sin²xcos⁴x+cos²xsin⁴x=sin²xcos²x(sin²x+sin²x)=sin²xcos²x

je voudrais écrire:
sin²xcos⁴x+cos²xsin⁴x=sin²xcos²x
(cos²x+sin²x)=sin²xcos²x
=½(1+cos2x)½(1-cos2x)
=¼(1-cos²(2x))
=¼-⅛(1+cos4x)
=⅛-⅛cos4x=I+J

bonsoir

et sin²(x)cos²(x) = (sin(x)cos(x))² = sin²(2x) / 4

donc effectivement

sin²(x)cos²(x) =(1-cos(4x))/8

maintenant calcule l'intégrale I+J

Une primitive de (1-cos(4x))/8 est
⅛x-(sin(4x))/32
=> I+J=(⅛*π/4-0)-(0-0)=π/32

exact

calcul de I-J
je cherche d'abord une primitive de:
sin²xcos²x(cos²x-sin²x)
=(⅛-⅛cos4x)(cos2x)
=(cos(2x))/32 -(cos6x)/32+⅛cos(2x)*sin²(2x)

Une primitive est x→(sin2x)/64-(sin6x)/192+(sin³(2x))/24.

Donc I-J=1/16

sin²xcos²x(cos²x-sin²x)  = sin²(2x) cos(2x) / 4

permet de primitiver beaucoup plus simplement

et donc je ne suis pas d'accord avec ton résultat

Oui c'est vraiment plus simple par là
une primitive de sin²(2x)cos(2x)/4
est x→(sin³2x)/12
Donc I-J=1/12

Bonjour,

en attendant le retour des répondants, ton dénominateur est faux

absolument !

jusque là je ne vois pas cette erreur

dérive (sin³2x)/12 et tu verras où est ton erreur

Oh je vois, il parait que j'avais integré par rapport à 2x ...
une primitive de x→sin²(2x)cos(2x)/4 serait plutôt  x→(sin³2x)/24
soit I-J=1/24

oui

Q2:
Il me reste donc à résoudre le système de deux équations pour trouver les valeurs de I et J .

Merci beaucoup à vous!

pas de quoi

de rien pour si peu